Gym - 100502G Outing (强连通缩点+树形依赖背包)

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问题：有n个人，最多选k个，如果选了某个人就必须选他指定的另一个人，问最多能选多少个人。

将每个人所指定的人向他连一条单向边，则每一个点都有唯一的前驱，形成的图是个基环树森林，在同一个强连通分量里的点要么全选，要么全不选。

首先用Tarjan算法将每个强连通分量(基环树上的环)缩成一个点，这样每棵基环树就变成了普通的树了。

定义每颗树上没有入度的点为树根，建立一个虚根与每棵树的根连一条边，将森林转化成树，对根节点求一遍树形背包即可。

树形依赖背包是树形背包的一个特例，即树形背包在根节点上的dp值。

可用siz数组或者bitset优化。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int N=+;
 int hd[N],op[N],ne,n,k,dp[N][N],dg[N],siz[N],mx[N],dfn[N],low[N],scc[N],sta[N],tot,nscc,tp;
 struct E {int v,nxt;} e[N<<];
 void addedge(int u,int v) {e[ne]= {v,hd[u]},hd[u]=ne++,dg[v]++;}
 void Tarjan(int u) {
     low[u]=dfn[u]=++tot;
     sta[++tp]=u;
     int v=op[u];
     if(!dfn[v])Tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
     else if(!scc[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);
     if(low[u]==dfn[u])for(nscc++; !scc[u]; scc[sta[tp--]]=nscc);
 }
 void getscc() {
     memset(scc,,sizeof scc);
     memset(dfn,,sizeof dfn);
     nscc=tot=,tp=-;
     for(int i=; i<=n; ++i)if(!dfn[i])Tarjan(i);
     memset(siz,,sizeof siz);
     memset(dg,,sizeof dg);
     for(int i=; i<=n; ++i)siz[scc[i]]++;
     for(int u=; u<=n; ++u) {
         int v=op[u];
         if(scc[v]!=scc[u])addedge(scc[v],scc[u]);
     }
     for(int i=; i<=nscc; ++i)if(!dg[i])addedge(,i);
 }
 void dfs(int u) {
     memset(dp[u],,sizeof dp[u]);
     dp[u][siz[u]]=;
     for(int i=hd[u]; ~i; i=e[i].nxt) {
         int v=e[i].v;
         dfs(v);
         for(int j=siz[u]; j>=; --j)if(dp[u][j])
                 for(int k=; k<=siz[v]; ++k)if(dp[v][k])
                         dp[u][j+k]=;
         siz[u]+=siz[v];
     }
 }

 int main() {
     memset(hd,-,sizeof hd),ne=;
     scanf("%d%d",&n,&k);
     for(int i=; i<=n; ++i)scanf("%d",&op[i]);
     getscc();
     dfs();
     for(int i=k; i>=; --i)if(dp[][i]) {printf("%d\n",i); break;}
     return ;
 }

bitset优化版：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int N=+;
 int hd[N],op[N],ne,n,k,dg[N],siz[N],dfn[N],low[N],scc[N],sta[N],tot,nscc,tp;
 bitset<N> dp[N];
 struct E {int v,nxt;} e[N];
 void addedge(int u,int v) {e[ne]= {v,hd[u]},hd[u]=ne++,dg[v]++;}
 void Tarjan(int u) {
     low[u]=dfn[u]=++tot;
     sta[++tp]=u;
     int v=op[u];
     if(!dfn[v])Tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
     else if(!scc[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);
     if(low[u]==dfn[u])for(nscc++; !scc[u]; scc[sta[tp--]]=nscc);
 }
 void getscc() {
     memset(scc,,sizeof scc);
     memset(dfn,,sizeof dfn);
     nscc=tot=,tp=-;
     for(int i=; i<=n; ++i)if(!dfn[i])Tarjan(i);
     memset(siz,,sizeof siz);
     memset(dg,,sizeof dg);
     for(int i=; i<=n; ++i)siz[scc[i]]++;
     for(int u=; u<=n; ++u) {
         int v=op[u];
         if(scc[v]!=scc[u])addedge(scc[v],scc[u]);
     }
     for(int i=; i<=nscc; ++i)if(!dg[i])addedge(,i);
 }
 void dfs(int u) {
     dp[u].reset();
     dp[u].set(siz[u]);
     for(int i=hd[u]; ~i; i=e[i].nxt) {
         int v=e[i].v;
         dfs(v);
         bitset<N> t=dp[u];
         for(int j=; j<N; ++j)if(dp[v].test(j))dp[u]|=t<<j;
     }
 }

 int main() {
     memset(hd,-,sizeof hd),ne=;
     scanf("%d%d",&n,&k);
     for(int i=; i<=n; ++i)scanf("%d",&op[i]);
     getscc();
     dfs();
     for(int i=k; i>=; --i)if(dp[].test(i)) {printf("%d\n",i); break;}
     return ;
 }