游戏开发3D基础知识

概念学习：

向量

向量简介

我们将所有彼此平行的向量进行平移，使其起点与坐标原点重合，当某一向量的起始端与坐标原点重合，我们成该向量处于标准位置。这样，我们就可用向量的终点坐标来描述一个处于标准位置的向量。 我们通常用小写粗体字母表示一个向量，又是也是用大写粗体字母，比如：2D,3D,4D向量分别表示为：\(u=(u_{x},u_{y})\), \(N=(N_{x},N_{y},N_{z})\),\(c=(c_{x},c_{y},c_{z},c_{w})\)。 D3DX库中，类D3DXVECTOR3表示3D空间中的向量。

向量相等

几何学中，如果两个向量长度和方向都相同，那么这两个向量相等。

向量长度

\(||u||= \sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}\)

向量规范化

向量的规范化就是使向量的模变为1，即变为单位向量。可以通过将向量的每个分量都除以该向量的模来实现向量的规范化。

向量加法

向量加法定义为两个向量对应分量分别相加，只有维数相同的两个分量才能进行加法运算。

\(u+v = (u_x+v_x, u_y+v_y, u_z+v_z)\)

向量减法

\(u-v = u+(-v) = (u_x-v_x, u_y-v_y, u_z-v_z)\)

数乘

标量可以与向量相乘，顾名思义，该运算可对向量进行缩放。

\(ku = (ku_x,ku_y,ku_z)\)

点积

点积是向量代数所定义的两种乘法之一，其运算规则如下：

\(u*v = u_x*v_x + u_y*v_y + u_z*v_z\)

上述公式并不具有明显的几何意义，由余弦定理，可以发现\(u*v = ||u|| * ||v|| * cosθ\)，即两向量的点积等于两者夹角的余弦再乘以两个向量的模的乘积。

叉积

叉积运算规则如下：

\(a*b = x_1*y_2-x_2*y_1 = a * b * sinθ\)

矩阵

矩阵相等

矩阵数乘

矩阵加法

矩阵乘法

若A为\(m*n\)的矩阵，B为\(n*p\)矩阵，则乘积AB有意义，且等于一个\(m*p\)矩阵

单位矩阵

逆矩阵

矩阵转置

一个\(m*n\)矩阵的转置是一个\(n*m\)的矩阵。我们用符号\(M^T\)表示矩阵M的转置