[agc011e]increasing numbers

题意：

如果一个十进制非负整数的所有数位从高位到低位是不减的，我们称它为“上升数”，例如1558,11,3,0都是上升数，而10,20170312则不是；

给定整数N，求最小的k使得N能被表示为k个上升数之和。

$1\leq N\leq 10^{500000}$

题解：

一个结论：每个上升数必定能被分解为九个全一数的和；

所谓“全一数”就是指1,1111,11111111这种每一位数都为1的数（包括0），证明显然。

设N可以被分解成K个全一数之和，显然答案$k=\lceil\frac{K}{9}\rceil$；

由于全一数不好处理，我们可以把一个长度为$l$的全一数变成$\frac{(10^{l+1}-1)}{9}$，那么有：

$N=\sum\limits_{i=1}^{K}\frac{(10^x)}{9}$（此处$x$代表不确定的位数）

$9N=\sum\limits_{i=1}^{K}(10^x-1)$

$9N+K=\sum\limits_{i=1}^{K}10^x$

这个式子是什么意思呢？如果不考虑进位，右边每一项都会使数位和+1，那么总体就说明$9N+K$的数位和等于$K$的数位和，此时$K$一定是9的倍数；

如果考虑进位，那么每进一位数位和就会减少9，因此$K$仍然要是9的倍数。

由于答案最多不会超过N的位数，枚举k，写个高精度乱做就行了。。。注意加法的时候没有进位就要break，这样是均摊$O(1)$的，否则是$O(n^2)$的。

代码：

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #define inf 2147483647
 #define eps 1e-9
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 int n,tot,a[];
 char s[];
 void mul(int a[],int &n,int k){
     int p=;
     tot=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         p=a[i]*k+p;
         a[i]=p%;
         tot+=a[i];
         p/=;
     }
     if(p)a[++n]=p;
     tot+=p;
 }
 void add(int a[],int &n,int k){
     int p=;
     tot-=a[];
     a[]+=k;
     p=a[]/;
     a[]%=;
     tot+=a[];
     for(int i=;i<=n;i++){
         tot-=a[i];
         a[i]+=p;
         p=a[i]/;
         a[i]%=;
         tot+=a[i];
         if(!p)break;
     }
     if(p)a[++n]=p;
     tot+=p;
 }
 int main(){
     scanf("%s",s);
     n=strlen(s);
     for(int i=;i<=n;i++){
         a[i]=s[n-i]-'';
     }
     mul(a,n,);
     for(int i=;i<=n;i++){
         add(a,n,);
         if(tot%==&&i*>=tot)return printf("%d",i),;
     }
     return ;
 }