力扣50(java)-Pow(x,n)（中等）

题目：

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的整数 n 次幂函数（即xⁿ ）。

示例 1：

输入：x = 2.00000, n = 10
输出：1024.00000
示例 2：

输入：x = 2.10000, n = 3
输出：9.26100
示例 3：

输入：x = 2.00000, n = -2
输出：0.25000
解释：2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25

提示：

• -100.0 < x < 100.0
• -231 <= n <= 231-1
• -104 <= xn <= 104

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/powx-n
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解题思路：

x ⁿ就是将x¹,x²,x³,x⁴,...,x^n-1,xⁿ相乘的结果。

一、分解指数、递归

xⁿ：将指数n化小，需要考虑三种情况

1.n为负数的情况：x^-n = 1 / xⁿ

2.n为奇数的情况：先分解出一个n,再将剩下的n-1再分解成(n-1)/2, xⁿ = x * x ^(n-1)/2 * x^(n-1)/2 

3.n为偶数的情况：xⁿ = x ^n/2 * x ^n/2 = (x²)^n/2

代码：

 1 class Solution {
 2     public double myPow(double x, int n) {
 3       long b = n;
 4       if(b < 0){
 5           return 1 / youPow(x, -b);
 6         }
 7       return youPow(x, b);
 8
 9     }
10     public double youPow(double x, long n){
11       //底数为1或者指数为1的情况
12       if(x == 1.0 || n == 0) return 1;
13       if((n % 2) == 0){
14           return youPow(x*x, n/2);
15       }
16       return x * youPow(x, n-1);
17     }
18 }

二、二进制

将十进制数n转化成二进制形式，设为a_ma_m-1...a₃a₂a_{1,故二进制与十进制之间的转换为}n = 20a_{1 +} 21a₂ + 22a₃ + _... + 2m-2a_m-1 + 2m-1a_m,故xn = x 20a_1 + 21a₂ + 22a₃ + _... + 2m-2a_m-1 + 2m-1a_m = x¹a₁ *  x²a₂ *  x ⁴a₃ * x^2m-2a_m-1 * x ^2m-1a_m

这就把问题转换为

1.求xⁿ转换成求x, x², x⁴, x^2的m-2(2的m-2次方), x^2的m-1(2的m-1次方)，循环累乘x²；

2.求二进制的各位数

• 先判断最右位是否为1    ==>    n &1
• 将n右移一位，判断下一个最右位   ==> n >> 1

整个思路为：

1.先排除x== 0.0的情况，0的任何次幂都为0，直接返回0；

2.将整数n转换成浮点型，因为int的范围为 [−2147483648,2147483647] ，当 n = -2147483648时，n变为正数，就会导致越界；

3.初始化结果res = 1;

4.循环二进制数，直至n = 0时跳出循环：

• 当n & 1 ==  1时，将x乘入res;
• 执行x = x ²;
• 将n右移1位，n >>= 1;

5.返回结果res。

代码：

 1 class Solution {
 2     public double myPow(double x, int n) {
 3       if(x == 0.0) return 0;
 4       long b = n;
 5       if(b < 0){
 6           x = 1 / x;
 7           b = -b;
 8       }
 9       double res = 1.0;
10       while(b > 0){
11           if((b & 1) == 1){
12               res *= x;
13           }
14           x *= x;
15           b >>= 1;
16       }
17       return res;
18     }
19 }