P5147-数学-随机数生成器

P5147-数学-随机数生成器

（洛谷第一篇题解说这是高一数学题，新高二感觉到被吊打）

我们设work(x)的期望值为\(f_x\)

注意\(f_1\)是边界。不过对下列式子没有影响。原因参照必修的数列

那么\(\displaystyle f_n=1+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f_i\)

移项得到\(\displaystyle f_n=\frac{n}{n-1}+\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}f_i\)

记\(S_x\)为\(\sum_{i=1}^{x}\)

原式即为

\(\displaystyle f_n=\frac{n}{n-1}+\frac{1}{n-1}S_{n-1}\)

通过高一的数学知识化简一下

\(\displaystyle f_n=1+\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}\)

发现这玩意就是个（伪）调和级数加1.

推出了通项公式！可以\(O(1)\)求解了……吗？

看看n的范围然后会发现直接求后面这堆东西会死人的。

但是，调和级数我们还是懂的。当n趋近于正无穷时，后面这堆东西近似于调和级数。那么我们把它就当做是好了。

欧拉常数

\(\gamma=0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335\)

我们知道了欧拉常数，然后就解决了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
	int n;
	double ans=0;
	scanf("%d",&n);
	if(n<100000)for(int i=1;i<n;i++)ans+=1.0/i;//范围较小时会有较大误差，暴力即可
	else ans=log(n)+0.577215664901532;
	printf("%.5f",n==1?0:ans+1);
	return 0;
}