【图论】用线段树写Dijikstra！！

速度是没有极限的。

众说周知，Dijikstra是一种最短路算法，复杂度为O(V^2+E)

朴素Dijikstra

void Dijikstra(int s){
  memset(dis,inf,sizeof(dis));
  dis[s]=0;
  for(int i=1;i<=n;++i){
    int maxs=inf,u=0;
    for(int j=1;j<=n;++j)
      if(!vis[j]&&dis[j]<maxs)
        maxs=dis[j],u=j;
    vis[u]=1;
    for(int e=pre[u];e;e=nx[e]){
      const int v=to[e];
      if(dis[v]>dis[u]+w[e])
        dis[v]=dis[u]+w[e];
    }
  }
}

其实对于稠密图它还是很棒了。 但我们不满足于此。

常见优化-heap优化

这里我们采用STL_priority_queue进行优化

typedef pair<int,int> p;
priority_queue<p,vector<p>,greater<p> > q;
void Dijikstra(int s){
  memset(dis,inf,sizeof(dis));
  dis[s]=0;
  q.push(p(0,s));
  while(!q.empty()){
    const int u=q.top().second;
    q.pop();
    if(!vis[u]){
      vis[u]=1;
      for(int e=pre[u];e;e=nx[e]){
        const int v=to[e];
        if(!vis[v]&&dis[v]>dis[u]+w[e])
          dis[v]=dis[u]+w[e],
          q.push(p(dis[v],v));
      }
    }
  }
}

这样的话复杂度就到了O((V+E)logV) 但是，常数大。 手写堆比较复杂，不现实。

奇怪的优化-线段树优化

这并不是自己发现的，但是网上资料少就记录一下吧。 我们回头看看朴素的Dijikstra以及priority_queue优化。 发现优化的主要思路就是减少了查询当前dis最小点的复杂度。 那么也很容易想到用线段树来维护dis的最小值吧。 这样问题就变成了 整体最小值与单点修改，很简单的线段树操作吧。

int tree[N<<2],leaf;
/*线段树存的是点的标号*/
int check(int i,int j){
  return dis[i]<dis[j]?i:j;
}
void build(){
  memset(dis,inf,sizeof(dis));
  for(leaf=1;leaf<=n;leaf<<=1);--leaf;
  for(int i=1;i<=n;++i) tree[leaf+i]=i;
}
/*修改 dis[x] 为 y*/
void change(int x,int y){
  dis[x]=y,x+=leaf,x>>=1;
  while(x) tree[x]=check(tree[x<<1],tree[x<<1|1]),x>>=1;
}
void Dijikstra(int s){
  build();
  dis[s]=0;
  int u=s;
  for(int i=1;i<=n;++i){
    ans[u]=dis[u];
    change(u,max_int); /*删除u*/
    for(int e=pre[u];e;e=nx[e]){
      const int v=to[e];
      if(dis[v]>ans[u]+w[e])
        change(v,ans[u]+w[e]);
    }
    u=tree[1];
  }
}

这个比堆短吧。 而且非递归的线段树常数也很小呢。

测试&总结

以luogu的单源最短路模板题(稀疏图,无O2)作为测试。

• 朴素的Dijikstra 2000+ms
• Dijikstra+priority_queue 652ms
• Dijikstra+线段树 192ms 然后加11了SLF和LLL的SPFA也很快，大概300ms

所以SPFA和Dijikstra+priority_queue是很实用的，但如果想卡排名的话可以试一试线段树啊

—来自xb神犇

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