P4001 [ICPC-Beijing 2006]狼抓兔子

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平面图

边与边只在顶点相交的图。

对偶图

对于一个平面图，都有其对应的对偶图。

• 平面图被划分出的每一个区域当作对偶图的一个点；
• 平面图中的每一条边两边的区域对应的点用边相连，特别地，若两边为同一区域则加一条回边（自环）。

这样构成的图即为原平面图的对偶图。

定理

平面图最小割 \(=\) 对偶图最短路。

#include <bits/stdc++.h>
#define pii pair<int, int>
#define X first
#define Y second
#define mp make_pair
#define ui unsigned int
using namespace std;
const int N = 2e6 + 6;
int n, m, s, t, d[N];
vector<pii> e[N];
priority_queue<pii> q;
bitset<N> v;

inline void add(int x, int y, int z) {
    e[x].push_back(mp(y, z));
}

inline int get(int i, int j, int k) {
    return 2 * (m - 1) * (i - 1) + 2 * (j - 1) + k;
}

inline void ins(int x, int y) {
    int z;
    scanf("%d", &z);
    add(x, y, z);
    add(y, x, z);
}

inline void dijkstra() {
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    d[s] = 0;
    q.push(mp(0, s));
    while (q.size()) {
        int x = q.top().Y;
        if (x == t) return;
        q.pop();
        if (v[x]) continue;
        v[x] = 1;
        for (ui i = 0; i < e[x].size(); i++) {
            int y = e[x][i].X, z = e[x][i].Y;
            if (d[y] > d[x] + z) {
                d[y] = d[x] + z;
                q.push(mp(-d[y], y));
            }
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    t = 2 * (n - 1) * (m - 1) + 1;
    for (int j = 1; j < m; j++) ins(get(1, j, 2), t);
    for (int i = 2; i < n; i++)
        for (int j = 1; j < m; j++)
            ins(get(i - 1, j, 1), get(i, j, 2));
    for (int j = 1; j < m; j++) ins(get(n - 1, j, 1), s);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        ins(get(i, 1, 1), s);
        for (int j = 2; j < m; j++)
            ins(get(i, j - 1, 2), get(i, j, 1));
        ins(get(i, m - 1, 2), t);
    }
    for (int i = 1; i < n; i++)
        for (int j = 1; j < m; j++)
            ins(get(i, j, 1), get(i, j, 2));
    dijkstra();
    cout << d[t] << endl;
    return 0;
}