Winograd Convolution 推导 - 从1D到2D

姚伟峰
http://www.cnblogs.com/Matrix_Yao/

1D Winograd 卷积

1D Winograd算法已经有很多文章讨论了,讨论得都比较清楚,这里就不再赘述,仅列出结论。

输入:四维信号
卷积核: 三维向量
输出: 二维信号
可表示为:

其中:

2D Winograd卷积

2D Winograd可以由1D Winograd外推得到,因此为解决2D Winograd问题,首先要重温1D 卷积解决的问题。在此复述一遍:
假设一个卷积核尺寸为3的一维卷积,假设每次我们输出2个卷积点,则我们形式化此问题:F(2, 3)。
因为输出为2,卷积核大小为3,对应的输入点数应该为4,则此问题表述为:

输入:四维信号
卷积核: 三维向量
因此,此卷积的矩阵乘形式应为:

请记住这个形式是Winograd算法解决的问题,后续2D算法将化归为这个问题。
下面我们来定义2D 卷积问题,将1D卷积扩展一维:
假设一个卷积核尺寸为3x3的二维卷积,假设每次我们输出2x2个卷积点,则我们形式化此问题:F(2x2, 3x3)。
因为输出为2x2,卷积核大小为3x3,对应的输入点数应该为4x4,则此问题表述为:

输入

卷积核

因此,此卷积的矩阵乘形式应为:

从这个式子里,我们可以看到1D卷积的影子,这个影子在我们对矩阵作了分块后会更加明显。

再明显一点,我们写成分块矩阵乘的形式:

至此,我们对2D卷积推导出了跟1D形式一致的公式,只不过1D中的标量在2D中变成了小矩阵或者向量。

实操粉

对实操粉而言,到这个形式为止,已经可以写代码了。
由1D Winograd可知,我们可以将该式改写为Winograd形式, 如下:

其中:

注意,这四个M的计算又可以用一维的F(2, 3) Winograd来做,因此2D Winograd是个嵌套(nested)的算法。

理论粉

对一个有追求的理论粉来说,只是得到可以写程序的递归表达肯定是不完美的,他们还是希望有一个最终的解析表达的。其实也很简单,我们把上面的式子规整规整,使得输出成为一个标准的2x2矩阵,有:

可以写为:

依1D Winograd公式, 并结合各M的公式,有下式。

注意到像这些都是2维列向量,hadamard product和concat可以交换而不影响结果,因此:

至此证得。

参考文献

  1. Fast Algorithms for Convolutional Neural Networkse

  2. Fast Algorithms for Signal Processing

  3. Going beyond Full Utilization: The Inside Scoop on Nervana’s Winograd Kernels

  4. 卷积神经网络中的Winograd快速卷积算法 注:本文关于2D Winograd的公式推导是错误的。

Winograd Convolution 推导 - 从1D到2D的更多相关文章

  1. 卷积神经网络中的Winograd快速卷积算法

    目录 写在前面 问题定义 一个例子 F(2, 3) 1D winograd 1D to 2D,F(2, 3) to F(2x2, 3x3) 卷积神经网络中的Winograd 总结 参考 博客:blog ...

  2. AES128加密-S盒和逆S盒构造推导及代码实现

    文档引用了<密码编码学与网络安全--原理和实践>里边的推导过程,如有不妥,请与我联系修改. 文档<FIPS 197>高级加密标准AES,里边有个S盒构造,涉及到了数论和有限域的 ...

  3. 1D Blending

    [1D Blending] BlendTree有类型之分,分为1D.2D.本文记录1D. 1D Blending blends the child motions according to a sin ...

  4. Notes on Convolutional Neural Networks

    这是Jake Bouvrie在2006年写的关于CNN的训练原理,虽然文献老了点,不过对理解经典CNN的训练过程还是很有帮助的.该作者是剑桥的研究认知科学的.翻译如有不对之处,还望告知,我好及时改正, ...

  5. NumPy的详细教程

    原文  http://blog.csdn.net/lsjseu/article/details/20359201 主题 NumPy 先决条件 在阅读这个教程之前,你多少需要知道点python.如果你想 ...

  6. KCF目标跟踪方法分析与总结

    KCF目标跟踪方法分析与总结 correlation filter Kernelized correlation filter tracking 读"J. F. Henriques, R. ...

  7. TensorFlow框架(4)之CNN卷积神经网络

    1. 卷积神经网络 1.1 多层前馈神经网络 多层前馈神经网络是指在多层的神经网络中,每层神经元与下一层神经元完全互连,神经元之间不存在同层连接,也不存在跨层连接的情况,如图 11所示. 图 11 对 ...

  8. 论文阅读笔记十九:PIXEL DECONVOLUTIONAL NETWORKS(CVPR2017)

    论文源址:https://arxiv.org/abs/1705.06820 tensorflow(github): https://github.com/HongyangGao/PixelDCN 基于 ...

  9. CNN 文本分类

    谈到文本分类,就不得不谈谈CNN(Convolutional Neural Networks).这个经典的结构在文本分类中取得了不俗的结果,而运用在这里的卷积可以分为1d .2d甚至是3d的.  下面 ...

随机推荐

  1. 无故出现 mysql dead but subsys locked的有关问题

    无故出现 mysql dead but subsys locked的问题问题描述:1.mysql安装完成后,使用service mysqld restart总是出现stop mysqld servic ...

  2. RxCocoa, RxSwift, Bond, Interstellar

    While you can use any functional library, I personally prefer RxSwift because I have the most experi ...

  3. redux:基于函数式编程的事件处理和状态维护机制

    redux = monand + pipeline + highorder componet + decouple + middleware redex = store based + event h ...

  4. BigDecimal保留小数

    public class test1_format { public static void main(String[] args) { BigDecimal decimal = new BigDec ...

  5. 解决node.js链接数据库时出现的报错 --- client does not support authentication

    打开mysql数据库小黑屏 然后输入 mysql> alter user 'root'@'localhost' identified with mysql_native_password by ...

  6. 在Maven项目中,jsp不解析el表达式

    我的这个项目是用Maven-archetype-webapp项目创建的,如下图所示: 有这种方式创建有一个坑,就是它使用的servlet版本是2.3,而servlet2.4以下的版本是不会自动解析el ...

  7. FFT代码详解

    关于FFT原理部分的介绍,在网上已经有很多了,所以在此只讲代码实现部分的内容. 原理可以参考https://www.cnblogs.com/RabbitHu/p/FFT.html 推荐看完它的原理解释 ...

  8. sql 记录一次灾难 游标问题

    起因:游标执行存储过程 下载begin 外面了.. ,造成一直触发存储过程 收获:定义变量统一在游标外部使用, 书写内容在begin 内部书写 alter PROCEDURE USP_dgd_wzh_ ...

  9. speedscope + node inspect 分析node应用调用

    生成一个简单的express 项目 使用脚手架工具 npm install -g express-generator@4 express . 启动使用inspect命令 node --inspect ...

  10. Python 10 训练模型

    原文:https://www.cnblogs.com/denny402/p/7520063.html 原文:https://www.jianshu.com/p/84f72791806f 原文:http ...