[物理学与PDEs]第2章第1节 理想流体力学方程组 1.3 理想流体力学方程组的数学结构

1.  局部音速 $c$: $c^2=\cfrac{\p p}{\p \rho}>0$.

2.  将理想流体力学方程组 $$\beex \bea \rho\cfrac{\p {\bf u}}{\p t} +(\rho {\bf u}\cdot\n){\bf u}+\n p&=\rho{\bf F},\\ \cfrac{1}{\rho c^2}\cfrac{\p p}{\p t} +\n\cdot{\bf u}+\cfrac{1}{\rho c^2}({\bf u}\cdot\n)p&=0,\\ \cfrac{\p S}{\p t}+({\bf u}\cdot\n)S&=0 \eea \eeex$$ 写成 $$\bee\label{2_1_2_dc} A_0\cfrac{\p U}{\p t} +\sum_{i=1}^3 A_i\cfrac{\p U}{\p x_i}=C, \eee$$ 其中 $U=(u_1,u_2,u_3,p,S)^T$, 则有 $$\beex \bea A_0=\sex{\ba{ccccc} \rho &&&&\\ &\rho&&&\\ &&\rho&&\\ &&&\cfrac{1}{\rho c^2}&\\ &&&&1 \ea},&\quad A_1=\sex{\ba{ccccc} \rho u_1&&&1&\\ &\rho u_1&&&\\ &&\rho u_1&&\\ 1&&&\cfrac{u_1}{\rho c^2}&\\ &&&&u_1 \ea},\\ A_2=\sex{\ba{ccccc} \rho u_2&&&&\\ &\rho u_2&&1&\\ &&\rho u_2&&\\ &1&&\cfrac{u_2}{\rho c^2}&\\ &&&&u_2 \ea},&\quad A_3=\sex{\ba{ccccc} \rho u_3&&&&\\ 0&\rho u_3&&&\\ &&\rho u_3&1&\\ &&1&\cfrac{u_3}{\rho c^2}&\\ &&&&u_3 \ea},\\ C=(\rho F_1,\rho F_2,\rho F_3,0,0)^T.& \eea \eeex$$

3.  当 $\rho>0$ 时, \eqref{2_1_2_dc} 为一阶拟线性对称双曲型偏微分方程组. 而可考虑 Cauchy 问题、初-边值问题.

4.  理想流体力学方程组可化为一阶拟线性对称双曲组 $$\bex \cfrac{\p L^0_{v_i}}{\p t} +\sum_{k=1}^3 \cfrac{\p }{\p x_k}L^k_{v_i}=0,\quad i=0,1,\cdot,4.  \eex$$ 其中 $$\bex L_0=-\cfrac{p}{T},\quad L^k=-\cfrac{p}{T}u_k\ (k=1,2,3). \eex$$ 这里,

(1)   $L_{v_iv_j}$ 为对称正定阵.

(2)   $v_i\ (i=0,1,\cdots,4)$ 及 $L$ 为 $\rho,\rho u_1,\rho u_2,\rho u_3, \rho e+\cfrac{1}{2}\rho u^2$ 及 $\rho S$ 的 Legendre 变换.

5.  一般的守恒律方程组可化为一阶对称双曲组的一个充要条件

设有守恒律方程组 $$\bee\label{2_1_shl} \cfrac{\p U}{\p t}+\sum_{k=1}^3 \cfrac{\p}{\p x_k} B^k(U)=0, \eee$$ 其中 $$\bex U=(u_1,\cdots,u_n)^T,\quad B^k=(b^k_1,\cdots,b^k_n)^T. \eex$$ 则 \eqref{2_1_shl} 可通过未知函数变换 $$\bex U=U(V),\quad (u_i=u_i(v_1,\cdots,v_n),\ i=1,\cdots,n) \eex$$ 化为守恒律形式的一阶对称双曲组的充要条件为: 存在严格凸的标量 $W(U)$ 与向量函数 $H=(h_1(U),h_2(U),h_3(U))^T$, 使成立如下附加守恒律 $$\bex \cfrac{\p }{\p t}W(U)+\sum_{k=1}^3 \cfrac{\p}{\p x_k}h_k(U)=0.  \eex$$ 这里, $W(U)$ 称为 \eqref{2_1_shl} 的熵函数, $H(U)$ 称为熵流函数.