欧拉函数和遗忘自动机 SX 的故逝

欧拉函数 \(\varphi(n)\) 定义为小于 \(n\) 与 \(n\) 互质的数字，炒个例子，\(\varphi(10) = 4\)，因为 \(1,3,7,9\) 与 \(10\) 互质。

怎么求？\(n\) 唯一分解成 \(p_1^{c_1}p_2^{c_2}\dots p_k^{c_k}\)，则 \(\varphi(n) = n\prod\limits_{i = 1}^k \dfrac{p_i - 1}{p_i}\)，证明可以用容斥做（懒得写了┓( ´∀` )┏）

它显然可以用分解质因数求单个的，也可以用埃筛求多个的，长这样

void getphi() {
	for(int p = 1; p <= MAXN; p++) phi[p] = p;
	for(int p = 2; p <= MAXN; p++)
		if(phi[p] == p)
			for(int i = p; i <= MAXN; i += p)
				phi[i] = phi[i] / p * (p - 1);
}

原因显而易见。

最重要的是几条性质（也就是说我水了一半是吧 QAQ）

1. 与 \(n\) 互质的数之和为 \(\dfrac{\varphi(n)n}{2}\)。
   
   这是因为 \(\gcd(n - x, n) = \gcd(n, x)\)，则如果 \(x\) 与 \(n\) 互质，那么 \(n - x\) 亦与 \(n\) 互质，成对出现，和为 \(n\)，有 \(\dfrac{\varphi(n)}{2}\)，总和为 \(\dfrac{\varphi(n)n}{2}\)。

2. 欧拉函数是积性函数，即 \(\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b),\gcd(a, b) = 1\)
   
   显而易见，分解质因数即可证明。

3. 若 \(p\) 为质数，且 \(p|n, p^2|n\)，则有 \(\varphi(n) = \varphi(n/p) \times p\)。
   
   由于 \(p|n, p^2|n\)，因此 \(n/p\) 与 \(n\) 有同样的质因子，\(\varphi(n)\) 与 \(\varphi(n/p)\) 用公式写一下显然成立（

4. 若 \(p\) 为质数，且 \(p|n, p^2\not | n\)，则有 \(\varphi(n) = \varphi(n/p) \times (p - 1)\)。
   
   由于 \(p|n, p^2\not|n\)，则 \(n/p\) 没有质因子 \(p\)，即 \(\gcd(n/p, p) = 1\)，由于这是积性函数则 \(\varphi(n) = \varphi(n / p)\times \varphi(p) = \varphi(n/ p) \times (p - 1)\)。

运用 3 4 可以用欧拉筛筛这个 qwq

1. \(\sum\limits_{d|n}\varphi(d) = n\)

欧拉。。欧拉反演。。。？

不会证明，懒得去学，跑路，有时间填坑 qAq

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欧拉筛怎么筛这个（欧拉超级加倍 2333333）

欧拉筛的核心在于将一个合数拆成 \(p\times k\)，其中 \(p\) 是这个数字的最小质因数。如果 \(p\) 与 \(k\) 互质，则有 \(\varphi(pk) = \varphi(p)\times (k - 1)\)，否则 \(varphi(pk) = \varphi(p/k)\times p\)。原因是因为上面的 3 4 两条性质 QWQ

代码不放了，都讲到这个份上了就都会了~（主要是暂时找不到懒得写了┓( ´∀` )┏（懒狗。。。））

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式子的话，一般是求和，然后我们每次是枚举 \(\gcd\)，最后一波乱搞搞成欧拉函数的形式 qwq

因题而异，不写了 qwq