BZOJ1009 矩阵快速幂+DP+KMP

Problem 1009. -- [HNOI2008]GT考试

1009: [HNOI2008]GT考试

Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 162 MB
Submit: 3773 Solved: 2314
[Submit][Status][Discuss]

Description

　　阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为
0

Input

　　第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000

Output

　　阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.

Sample Input

4 3 100
111

Sample Output

先给出递推关系式 dp[i][j]=a0*dp[i-1][0]+a1*dp[i-1][1]+a2*dp[i-1][2]+a3*dp[i-1][3]+.......an*dp[i-1][m-1];

最终有ans=dp[n][0]+dp[n][1]+dp[n][2]+....dp[n][m-1];

dp[i][j]的意思是前i个数组元素的后缀有j个和所要匹配的字符串相同。

首先说明这个递推关系式是正确的：将所有合法的号码按字符串的尾缀与不合法字符串的前缀相同元素的个数分类，满足不重不漏关系，所以DP是对的。

然后关系式为线性关系，所以可以用矩阵快速幂来计算。

剩下的问题就是如何求得a0,a1,a2....an（系数矩阵）。

进行一遍for循环范围为i=0----m-1，可以知道i只能对i+1之前的元素产生影响,然后再进行填数字。再由KMP进行确定系数。

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

int n,m,mod;

int next[],num[];

void get(){

    int i=,j=-;

    next[]=-;

    while(i<m){

        if(j==-||num[i]==num[j]) next[++i]=++j;

        else j=next[j];

    }

}

struct node{

   int mx[][];

   node(){memset(mx,,sizeof(mx));}

}a;

node mult(const node &a,const node &b){

   node c;

   for(int i=;i<m;++i)

    for(int j=;j<m;++j)

    for(int k=;k<m;++k)

    c.mx[i][j]=(c.mx[i][j]+a.mx[i][k]*b.mx[k][j])%mod;

   return c;

}

node ksm(node a,int k){

    node r;

    for(int i=;i<m;++i)

        r.mx[i][i]=;

    while(k){

        if(k&) {r=mult(r,a);k|=;}

        k>>=;

        a=mult(a,a);

    }

    return r;

}

int main(){

   scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);

   getchar();

   for(int i=;i<m;++i) num[i]=getchar()-'';

   get();

   for(int i=;i<m;++i)  //进行第i个元素填充

   for(int j=;j<=;++j){ //若第i个元素为j

    int tmp=i;              //这里首先假设后缀满足了i个，然后对i个位置（数组元素从0开始，所以比较的时候还是num[tmp]而不是num[tmp+1]）填充j

    while(tmp!=-&&j!=num[tmp]) tmp=next[tmp];  //若是不相同，就向前找。

    if(tmp==-) ++a.mx[i][];   //如果未找到匹配的位置，则dp[i+1][0]的系数a[i][0]要加1

    else ++a.mx[i][tmp+];  //可以转移到tmp+1的位置（若开始就匹配，就表示可以转移到他的下一个位置，系数加1）

   }//系数矩阵显然是个方阵，第i行第j列表示前一个后缀满足i个转移到后一个后缀满足j个的系数（从而也可以知道系数矩阵第一行起初就是dp[1][0],dp[1][1]...dp[1][m]）

   a=ksm(a,n);

   int ans=;

   for(int i=;i<m;++i)

    ans=(ans+a.mx[][i])%mod;

   printf("%d\n",ans);

}