uoj#267. 【清华集训2016】魔法小程序（乱搞）

传送门

感觉很像FFT的过程的说……

先来考虑\(b\)如何转化成\(c\)，那么只要通过它的逆过程就可以了

首先，我们称“魔法”为比较两个数的字典序，记\(x=a_0\)，那么把\(b\)数组每\(x\)个分为一组，在每组里面，\(b_i\%x\)的值都是递增的，也就是说对于同一组里面的每一对\(i<j\)，\(i\)的字典序都小于\(j\)的字典序。根据代码，\(c[j]\)最终的值是所有\(i\leq j\)且\(i\)的字典序小于等于\(j\)的所有\(b[i]\)之和。排除掉\(j\)自己，就是所有比它小且字典序比它小的\(b[i]\)之和

如果\(i\)的字典序小于\(j\)的字典序，那么就要\(c[j]+=b[i]\)，那么设其中一组为\([l,r]\)，我们从左到右枚举\(i\in[l,r-1]\)，并令\(b[i+1]+=b[i]\)，因为这相当于是一个前缀和的过程，所以对于每一个\(b[i]\)，它都加上了所有\(b[j](j<i)\)

字典序第一维不同的情况考虑完了，那么考虑第一维相同而第二维不同，令\(y=a_0\times a_1\)，然后每\(y\)个分为一组，那么对于同一组里\(i\)和\(i-x\)是第一维相同而第二维不同的，所以\(b[i]\)要加上\(b[i-x]\)。

那么只考虑第二维会不会漏掉第一维的情况？比方说在第一次分组时，\(j\)位于第\(2\)组，\(i\)为与第\(1\)组，且\(i\)的字典序比\(j\)小，\(i\)就没有加上去。实际上不会有这样的情况，因为我们第一次分组时已经前缀和过了，所以此时\(b[i]\)的值肯定已经加到\(b[j-x]\)中了，所以不会出现漏减的情况

综上，要令\(b\)变为\(c\)，记\(sum_i\)为\(a_i\)的前缀积，我们要依次枚举\(sum_i\)，分组后在内部从左到右枚举，令每个\(b[j]\)加上\(b[j-sum_{i-1}]\)

于是要令\(c\)变为\(b\)，只要将这个过程反过来就可以了，只要倒着枚举前缀积，从右往左枚举\(j\)，令每个\(c[j]\)减去\(c[j-sum_{i-1}]\)即可

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
ll read(){
    R ll res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
void print(R int x){
    if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]=' ';
}
const int N=1e6+5,M=1e4+5;
int a[M],b[N],las[N],tmp[N],st[N];ll c[N];
int n,m,top,tt;
void out(){
	print(n),sr[C]='\n';
	fp(i,0,n-1)print(a[i]);sr[C]='\n';
	print(m),sr[C]='\n';
	fp(i,0,m-1)print(c[i]);sr[C]='\n';
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	n=read();
	fp(i,0,n-1)a[i]=read();
	m=read();
	fp(i,0,m-1)c[i]=read();
	st[++top]=1;
	for(R int i=0;i<n&&1ll*st[top]*a[i]<=m;++i)
	if(a[i]!=1)++top,st[top]=st[top-1]*a[i];
	st[++top]=m+1;
	for(R int mid=st[top];top>1;mid=st[--top]){
		for(R int i=0;i<m;i+=mid){
			int j=min(i+st[top]-1,m-1);
			while(j>=i+st[top-1])c[j]-=c[j-st[top-1]],--j;
		}
	}
	out();
	return Ot(),0;
}