[NOI2010][bzoj2005] 能量采集 [欧拉函数+分块前缀和优化]
题面:
思路:
稍微转化一下,可以发现,每个植物到原点连线上植物的数量,等于gcd(x,y)-1,其中xy是植物的横纵坐标
那么我们实际上就是要求2*sigma(gcd(x,y))-n*m了
又有某不知名神奇定理:一个数的所有因子的phi之和等于这个数本身,其中phi是欧拉函数
因此题目转化为求如下:
我们把式子变个型,就成了如下式子:
然后一个前缀和优化,O(n+sqrt(n))解决
Code:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
ll re=,flag=;char ch=getchar();
while(ch>''||ch<''){
if(ch=='-') flag=-;
ch=getchar();
}
while(ch>=''&&ch<='') re=(re<<)+(re<<)+ch-'',ch=getchar();
return re*flag;
}
ll phi[],pri[],cnt,pre[];
void init(){
phi[]=pre[]=;ll i,j,k;
for(i=;i<=;i++){
if(!phi[i]) phi[i]=i-,pri[++cnt]=i;
for(j=;(j<=cnt)&&(i*pri[j]<=);j++){
if(i%pri[j]) phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-);
else{phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
}
pre[i]=pre[i-]+phi[i];
// if(i<=10) cout<<"phi "<<i<<" "<<phi[i]<<"\n";
}
}
ll n,m;ll ans;
int main(){
init();ll i,j;
n=read();m=read();
if(n>m) swap(n,m);
for(i=;i<=n;i=j+){
j=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=(ll)(n/i)*(m/i)*(pre[j]-pre[i-]);
}
printf("%lld\n",ans*-n*m);
}
∑ni=1∑mi=1∑d|m⋂d|ndphi(d)
∑ni=1∑mi=1∑d|m⋂d|ndphi(d)
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