[洛谷P2375] [NOI2014]动物园

洛谷题目链接:[NOI2014]动物园

题目描述

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。

某天，园长给动物们讲解KMP算法。

园长：“对于一个字符串 \(S\) ，它的长度为 \(L\) 。我们可以在 \(O(L)\) 的时间内，求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串 \(S\) 的前 \(i\) 个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作 \(next[i]\)。”

园长：“非常好！那你能举个例子吗？”

熊猫：“例 \(S\) 为abcababc，则 \(next[5]=2\) 。因为 \(S\) 的前 \(5\) 个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出 \(next[1] = next[2] = next[3] = 0\) ， \(next[4] = next[6] = 1\) ， \(next[7] = 2\) ， \(next[8] = 3\) 。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在 \(O(L)\) 的时间内求出next数组。

下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串 \(S\) 的前 \(i\) 个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作 \(num[i]\) 。例如 \(S\) 为aaaaa，则 \(num[4] = 2\) 。这是因为 \(S\) 的前 \(4\) 个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理， \(num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2\) 。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出 \(num\) 数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出 \(num[i]\) 分别是多少，你只需要输出所有\(( num[i]+1 )\)的乘积，对 \(1,000,000,007\) 取模的结果即可。

输入输出格式

输入格式：

第 \(1\) 行仅包含一个正整数 \(n\) ，表示测试数据的组数。

随后 \(n\) 行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串 \(S\) ， \(S\) 的定义详见题目描述。数据保证 \(S\) 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

输出格式：

包含 \(n\) 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 \(1,000,000,007\) 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

输入输出样例

输入样例#1：

3

aaaaa

ab

abcababc

输出样例#1：

36

1

32

说明

测试点编号	约定
1	\(N≤5,L≤50\)
2	\(N≤5,L≤200\)
3	\(N≤5,L≤200\)
4	\(N≤5,L≤10,000\)
5	\(N≤5,L≤10,000\)
6	\(N≤5,L≤100,000\)
7	\(N≤5,L≤200,000\)
8	\(N ≤ 5, L ≤ 500,000\)
9	\(N ≤ 5, L ≤ 1,000,000\)
10	\(N ≤ 5, L ≤ 1,000,000\)

一句话题意: 给出一个字符串,要求出所有前缀中,该前缀的前缀和后缀相同的数量(前缀后缀不重叠),将该前缀的答案计为\(num[i]\),问\(\displaystyle \prod_{i=1}^{n} (num[i]+1)\).

题解: 因为这个\(num\)数组是可以由KMP的\(next\)数组来统计出的.但是如果每次都一个个统计过来的话,一次操作最多可以是\(O(n)\)的(也就是从第\(n\)位一直到第1位统计过来).显然如果这样倒着推的话复杂度是接受不了的.

所以在这里我们考虑维护一个\(num\)数组的前缀和,但是这里的\(num\)数组的含义要改一下,我们用\(num[i]\)表示在第1到第\(i\)位中前缀和后缀相同的数量(前缀后缀重叠也计算进答案).然后我们对这个数组进行前缀和.与此同时我们的\(next\)数组的含义也要改一下,\(next[i]\)表示1~\(i\)位中前缀和后缀相同的最大长度.

因为我们计算的\(num[i]\)与题目所给的\(num[i]\)并不同,所以算题目最终给出的\(num[i]\)的时候,就可以直接用我们算的\(num[\left\lceil{\frac{i}{2}}\right\rceil]\)计入总答案.

最后提一句:千万不要对着题解的代码改,边界细节一定要自己想清楚,不然会被题解绕晕的!!

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int yyj = 1e9+7;
const int MAXLEN = 1e6+5;
typedef int _int;
#define int long long

int T, n, nex[MAXLEN], num[MAXLEN], ans = 0;
char s[MAXLEN];

_int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> T;
    while(T--){
    memset(nex, 0, sizeof(nex));
    memset(num, 0, sizeof(num)); ans = 1, num[1] = 1;
    cin >> s+1; n = strlen(s+1), nex[2] = 1;
    for(int i=2, j=0;i<=n;i++){
        while(j && s[j+1] != s[i]) j = nex[j];
        j += s[i] == s[j+1], nex[i] = j, num[i] = num[j]+1;
    }
    for(int i=1, j=0;i<=n;i++){
        while(j && s[j+1] != s[i]) j = nex[j];
        j += s[j+1] == s[i];
        while(j*2 > i) j = nex[j];
        ans = (ans*(num[j]+1)) % yyj;
    }
	    cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}