【BZOJ1443】游戏（二分图匹配，博弈论）

【BZOJ1443】游戏（二分图匹配，博弈论）

题面

BZOJ

题解

很明显的二分图博弈问题。

发现每次移动一定是从一个黑点到达一个白点，或者反过来。

所以可以对于棋盘进行染色然后连边。

考虑一下必胜策略。

如果选择从一个匹配点开始走，

另外一个人沿着匹配点走，那么就输了，因为匹配点不一定有出边了。

如果选择从一个非匹配点开始走，

另外一个人无论怎么走都只能走到一个匹配点（或者无路可走）

如果另外一个人可以走到一个非匹配点，意味着这两个点可以匹配，所以不存在这种情况。

那么，先手只需要沿着匹配边走就一定能够做到必胜。

所以黑白染色之后连边，找到所有不一定在最大匹配中的点就好了。

直接跑匈牙利非常慢啊（虽然能够过）

匈牙利代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 111
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
struct Line{int v,next;}e[MAX*MAX*4];
int h[MAX*MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v){e[cnt]=(Line){v,h[u]};h[u]=cnt++;}
char g[MAX][MAX];
int n,m,bh[MAX][MAX],tot;
int match[MAX*MAX],vis[MAX*MAX],tim;
int d[4][2]={0,1,1,0,-1,0,0,-1};
bool ban[MAX*MAX];
int ans;
pair<int,int> p[MAX*MAX];
bool dfs(int u)
{
	if(ban[u])return false;
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
		if(vis[e[i].v]!=tim&&!ban[e[i].v])
		{
			vis[e[i].v]=tim;
			if(!match[e[i].v]||dfs(match[e[i].v]))
			{match[u]=e[i].v;match[e[i].v]=u;return true;}
		}
	return false;
}
int main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%s",g[i]+1);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j)
			if(g[i][j]!='#')bh[i][j]=++tot;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j)
			if(((i+j)&1)&&g[i][j]=='.')
				for(int k=0;k<4;++k)
				{
					int x=i+d[k][0],y=j+d[k][1];
					if(x<1||x>n||y<1||y>m||g[x][y]=='#')continue;
					Add(bh[i][j],bh[x][y]);Add(bh[x][y],bh[i][j]);
				}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j)
			if(((i+j)&1)&&g[i][j]=='.')
				if(!match[bh[i][j]])++tim,dfs(bh[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j)
			if(g[i][j]=='.')
			{
				if(!match[bh[i][j]]){p[++ans]=make_pair(i,j);continue;}
				ban[bh[i][j]]=true;int nw=match[bh[i][j]];
				match[bh[i][j]]=match[nw]=0;++tim;
				if(dfs(nw))p[++ans]=make_pair(i,j);
				else match[bh[i][j]]=nw,match[nw]=bh[i][j];
				ban[bh[i][j]]=false;
			}
	puts(ans?"WIN":"LOSE");sort(&p[1],&p[ans+1]);
	for(int i=1;i<=ans;++i)printf("%d %d\n",p[i].first,p[i].second);
	return 0;
}

跑网络流就会快很多。

但是怎么判断一个点是否在不一定在最大匹配中呢？

把所有和\(S\)相连的点(用还有剩余流量的边连接)全部扣下来，这些点一定满足条件。

为什么呢？

首先不在当前的这个匹配中的点一定会被计算。

如果一个点在匹配中，但是他被连上了，那么一定是通过一个没有被匹配上的点，到达当前点的匹配点，在连回来的，这样子意味着可以交换匹配。

和\(T\)相连的点同理解决即可。

这样子快很多。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 111
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
struct Line{int v,next,w;}e[MAX*MAX*10];
int h[MAX*MAX],cnt=2;
inline void Add(int u,int v,int w)
{
	e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;
	e[cnt]=(Line){u,h[v],0};h[v]=cnt++;
}
char g[MAX][MAX];
int n,m,bh[MAX][MAX],tot,cur[MAX*MAX];
bool vis[MAX*MAX],cho[MAX*MAX];
int d[4][2]={0,1,1,0,-1,0,0,-1};
int ans,col[MAX*MAX];
pair<int,int> p[MAX*MAX];
int level[MAX*MAX],S,T;
bool bfs()
{
	queue<int> Q;memset(level,0,sizeof(level));
	level[S]=1;Q.push(S);
	while(!Q.empty())
	{
		int u=Q.front();Q.pop();
		for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
			if(e[i].w&&!level[e[i].v])
			{
				level[e[i].v]=level[u]+1,Q.push(e[i].v);
				if(e[i].v==T)break;
			}
	}
	return level[T];
}
int dfs(int u,int flow)
{
	if(u==T||!flow)return flow;
	int ret=0;
	for(int &i=cur[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v;
		if(e[i].w&&level[v]==level[u]+1)
		{
			int d=dfs(v,min(flow,e[i].w));
			ret+=d;flow-=d;
			e[i].w-=d;e[i^1].w+=d;
			if(!flow)break;
		}
	}
	return ret;
}
void DFS(int u,int d)
{
	vis[u]=true;
	if(col[u]==d)++ans,cho[u]=true;
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
		if(e[i].w==d&&!vis[e[i].v])DFS(e[i].v,d);
}
void Dinic()
{
	int ret=0;
	while(bfs())
	{
		for(int i=S;i<=T;++i)cur[i]=h[i];
		ret+=dfs(S,1e9);
	}
	return;
}
int main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%s",g[i]+1);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j)
			if(g[i][j]!='#')bh[i][j]=++tot;
	S=0;T=tot+1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j)
			if(((i+j)&1)&&g[i][j]=='.')
				for(int k=0;k<4;++k)
				{
					int x=i+d[k][0],y=j+d[k][1];
					if(x<1||x>n||y<1||y>m||g[x][y]=='#')continue;
					Add(bh[i][j],bh[x][y],1);
				}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j)
			if(g[i][j]=='.')
			{
				if((i+j)&1)Add(S,bh[i][j],1),col[bh[i][j]]=1;
				else Add(bh[i][j],T,1),col[bh[i][j]]=0;
			}
	Dinic();DFS(S,1);DFS(T,0);
	puts(ans?"WIN":"LOSE");sort(&p[1],&p[ans+1]);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j)
			if(bh[i][j]&&cho[bh[i][j]])printf("%d %d\n",i,j);
	return 0;
}