POJ 2409 Let it Bead (Polya定理)

题意

用k种颜色对n个珠子构成的环上色，旋转翻转后相同的只算一种，求不等价的着色方案数。

思路

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Polya定理

X是对象集合{1, 2, ……, n}， 设G是X上的置换群，用M种颜色染N种对象，则不同的染色方案数为：

λ(g)表示置换g的轮换个数，且λ(g) = λ1(g) + λn(g) + …… + λn(g)，其中λi(g)表示g中长度为i的轮换（循环）个数.

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本题是对一个n个珠子的圆珠的颜色，而圆珠的置换群有：

Ⅰ翻转：1.当n为奇数时，有n种翻转，每种翻转的轴都是一个顶点和该顶点对边中点的连线，有n种置换，每种置换的轮换个数均为(n/2+1)。

2.当n为偶数时，有n种翻转，其中n/2种转轴是两个对应顶点连线，轮换个数为n/2+1；另n/2种转轴是两条对边中点的连线，轮换个数为n/2。

Ⅱ旋转：枚举旋转角度360/n*i，有n种旋转；第i种旋转有gcd(n, i)个轮换，每个轮换的长度都是n/gcd(n, i)。

然后带入公式即可.

代码

[cpp]
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#define MID(x,y) ((x+y)/2)
#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define REP(i, begin, end) for (int i = begin; i <= end; i ++)
using namespace std;

int gcd(int a, int b){
return b?gcd(b, a%b):a;
}
int main(){
//freopen("test.in", "r", stdin);
//freopen("test.out", "w", stdout);
int c, s;
while(scanf("%d %d", &c, &s) != EOF){
long long res = 0;
if (c + s == 0) break;
if (s % 2 == 1){
res += (long long)s * pow(c, s/2+1);
}
else{
res += (long long)(s/2) * (pow(c, s/2) + pow(c, s/2+1));
}
for (int i = 1; i <= s; i ++){
res += (long long)pow(c, gcd(s, i));
}
printf("%I64d\n", res/2/s);
}
return 0;
}
[/cpp]