FLOYD 求最小环

首先 先介绍一下 FLOYD算法的基本思想

 

设d[i,j,k]是
在只允许经过结点1…k的情况下
i到j的最短路长度
则它有两种情况（想一想，为什么）：
最短路经过点k，d[i,j,k]=d[i,k,k-1]+d[k,j,k-1]
最短路不经过点k，d[i,j,k]=d[i,j,k-1]
综合起来: d[i,j,k]=min{d[i,k,k-1]+d[k,j,k-1],d[i,j,k-1]}
边界条件: d[i,j,0]=w(i,j)（不存在的边权为∞）

floyd算法的流程：
把k放外层循环，可以节省内存
对于每个k，计算每两点的目前最短路
代码(需记忆)
for k:=1 to n do
for i:=1 to n do
  for j:=1 to n do
    if (d[i,k]<∞)and(d[k,j]<∞)
       and(d[i,k]+d[k,j]<d[i,j]) then
          d[i,j]:=d[i,k]+d[k,j]               （以上2段引自刘汝佳的课件）
时间复杂度：O(n^3)
FLOYD算法的复杂度虽然是O（n^3)但是它计算出任意一对点之间的最短路。
FLOYD的代码具有一种简洁美，当时间不允许写其他算法时的时候，写一个FLOYD，骗一部分的分，也是一个不错的选择。
另一方面，它不怕负权边，也可以判断负权回路。

接下来通过几个例题让我们看看FLOYD 算法的神奇威力。
第一. 求最小环
有向图的最小环和无向图的最小环完全是两种不一样的问题。
其一般解法都是枚举一条边uv删除，然后求一条uv间的最短路径（假设长S）然后用S+边uv的长，来更新答案。
如果用SPFA来求最短路，那么复杂度是O（m*km） k的取值取决于 图本身。
但是FLOYD算法可以在O（n^3）内很轻松地解决这个问题。
首先对于有向图
 由于一条边UV只能从U到V，而不能逆行之，那么我们只需要更新出图中任意2个点之间的最短路径。
记F[U,V]表示U到V的最短距离
G[U,V] 是原图中U到V的边的长
对于每对（U,V）我们只要将G[U,V]+F[V,U]来更新答案就行了。
无向图的最小环相对麻烦一些。
因为我们要避免一条无向边被2次走过(被当做2条边）的情况。
FOR EXAMPLE
u v之间有且只有一条边e   我们大可以从U 走到V 然后从V走回U  但是这并不是一个环
算法：
在floyd的同时，顺便算出最小环
   g[i][j]=(i,j之间的边长)
   dist:=g;
   for k:=1 to n do
    begin
      for i:=1 to k-1 do
        for j:=i+1 to k-1 do
            answer:=min(answer,dist[i][j]+g[i][k]+g[k][j]);
      for i:=1 to n do
         for j:=1 to n do
             dist[i][j]:=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);
    end;
   关于算法<2>的证明：
    一个环中的最大结点为k(编号最大)，与他相连的两个点为i,j，这个环的最短长度为g[i][k]+g[k][j]+i到j的路径中,所有结点编号都小于k的最短路径长度
    根据floyd的原理，在最外层循环做了k-1次之后，dist[i][j]则代表了i到j的路径中，所有结点编号都小于k的最短路径
    综上所述，该算法一定能找到图中最小环。

第二.求经过K条边的最短路径
例题：给出了一张有N个点M条边的加权有向无环图，接下来有Q个询问，每个询问包括2个节点X和Y，要求算出从X到Y的一条路径，使得密度最小（密度的定义为，路径上边的权值和除以边的数量）。
 有1 ≤ N ≤ 50，1 ≤ M ≤ 1000，1 ≤ W ≤ 100000，1 ≤ Q ≤ 100000
这道题十分坑爹。
题目里说好是无环图，但是数据里到处都是环。
我刚开始想的方法是用SPFA拆点做
把原图中每个点拆成N-1个点，分别表示经过I条边到达的这个点。因为最多经过N-1条边。
数据中这种环就会像负权环一样导致SPFA永远做下去。

但是暂且不管数据如何。对于这个题目，除了上面讲的SPFA 拆点的做法，FLOYD 也是可以很好解决的
首先这个“密度”很特殊，IJ之间最小密度路径加上JK之间最小路径，不一定就是IK之间的最小密度路径。
所以我们要先枚举经过了P条边 （1<=P<=N-1）

定义状态f(i,j,k)表示从i到j恰好经过k条边的最短路，类似Floyd的算法得出DP方程：
        f(i,j,k)=Min{f(i,h,g)+f(h,j,k-g)}。
这个方程是5维的，会超时，如何减小维数呢？
考虑在何处重复决策。注意到f（i,j,k）的选择路径V1－V2－...－Vk，实际上我们只要找到这里的一个点决策即可，而不需每个点都判断过去。这样就很容易想到在最后一个点进行决策。
        f(i,j,k)=Min{f(i,h,k-1)+f(h,j,1)}。
这样这个方法的时间复杂度就是0（N^4） 空间复杂度O（N^3）
问题得到了很好的解决。