牛客网多校第9场 E Music Game 【思维+数学期望】
题目:戳这里
题意:鼠标点击n下,第i次点击成功的概率为p[i],连续点击成功x次可以获得x^m分,求n次点击总分数的数学期望。
解题思路:数学期望的题很多都需要转化思维,求某一个单独状态对整体答案的贡献。这主要是利用了期望的可加性。
即:E(X+Y)=E(X)+E(Y);
比如在这题中,第2到3次连续点击成功,则意味着状态为0110....,后面的(...)所有情况概率和为1,也就是说影响第2到3次点击成功的因素只有前四次点击。
这样我们就可以预处理出所有段对答案的贡献,最后遍历一遍求和即可。
附ac代码:
1 #include <cstdio>
2 #include <cstdlib>
3 #include <iostream>
4 #include <cstring>
5 #include <algorithm>
6 #include <cmath>
7 #include <queue>
8 #include <vector>
9 #include <string>
10 #include <map>
11 #include <set>
12 using namespace std;
13 typedef long long ll;
14 const ll mod = 1e9 + 7;
15 const int maxn = 1e3 + 10;
16 ll p[maxn];
17 ll sc[maxn];
18 ll pre[maxn][maxn];
19 ll pmul(ll a, ll b)
20 {
21 ll res = 0;
22 while(b)
23 {
24 if(b&1)
25 res = (res + a) % mod;
26 b >>= 1;
27 a = (a + a) % mod;
28 }
29 return res;
30 }
31 ll pmod(ll a, ll b)
32 {
33 ll res = 1;
34 while(b)
35 {
36 if(b&1)
37 res = pmul(res, a) % mod;
38 b >>= 1;
39 a = pmul(a, a) % mod;
40 }
41 return res;
42 }
43 ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
44 {
45 if(a == 0 && b == 0) return -1;
46 if(b == 0)
47 {
48 x = 1;y = 0;
49 return a;
50 }
51 ll d = exgcd(b, a % b, y, x);
52 y -= a/b*x;
53 return d;
54 }
55 ll mod_rev(ll a, ll n)
56 {
57 ll x, y;
58 ll d = exgcd(a, n, x, y);
59 if(d == 1) return (x % n + n) % n;
60 else return -1;
61 }
62 int main()
63 {
64 ll n, m;
65 ll inv = mod_rev(100ll, mod);
66 // printf("%lld\n", inv);
67 scanf("%lld %lld", &n, &m);
68 for(ll i = 1; i <= n; ++i)
69 {
70 scanf("%lld", &p[i]);
71 sc[i] = pmod(i, m) % mod;
72 // printf("%lld sc\n", sc[i]);
73 }
74 for(ll i = 1; i <= n; ++i)//预处理每一段的贡献
75 {
76 pre[i][i] = p[i] * inv % mod;
77 for(ll j = i + 1; j <= n; ++j)
78 {
79 pre[i][j] = pre[i][j - 1] * p[j] % mod * inv % mod;
80 }
81 }
82 ll ans = 0;
83 for(ll i = 0; i < n; ++i)//遍历求贡献和
84 {
85 for(ll j = i + 2; j <= n + 1; ++j)
86 {
87 ans += pre[i + 1][j - 1] * sc[j - i - 1] % mod * (100ll - p[i]) % mod * inv % mod * (100ll - p[j]) % mod * inv % mod;
88 ans %= mod;
89 }
90 }
91 printf("%lld\n", ans % mod);
92
93 }
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