Fibonacci快速实现（优化）

斐波那契数列的通俗解法是利用递推公式进行递归求解，我们可以更优化的去解决它。

方法一：通项公式

斐波那契数列的递推公式是f(n)=f(n-1)+f(n-2)，特征方程为：x²=x+1,解该方程得(1+sqrt(5))/2,(1-sqrt(5))/2.所以f(n)=Ax₁ⁿ+Bx₂ⁿ,带入f(0)=0,f(1)=1得A=sqrt(5)/5,B=-sqrt(5)/5.则f(n)求出。

方法二：分治策略

可以看出斐波那契数列有如下性质：

(f_n f_n-1)=(f_n-1 f_n-2)*A,可以得出A=(1 1;1 0)

递推可得：(f_n f_n-1)=(f_n-1 f_n-2)*A=(f_n-2 f_n-3)*A²=…=(f₁ f₀)*A^n-1

因此问题转化为n次幂的问题，因此幂运算有这样的性质c^a+b=c^a*c^b,而n次幂的n可以拆成二进制的加法，所以只需要lgn次遍历即可。代码如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Matrix MatrixPow(const Matrix& base,int exponent) {     Matrix temp=base;     Matrix result=Identity;     for(;exponent;exponent>>=1)     {         if(exponent&0x1)            result*=temp;         temp*=temp;     }     return result; }     int Fibonacci(int n) {      Matrix A={1,1,1,0};      Matrix a=MatrixPow(A,n-1);      return 1*a[0][0]+0*a[1][0]; }