Codeforces Round #372 (Div. 2)

C. Plus and Square Root

题意

  • 一个游戏中,有一个数字\(x\),当前游戏等级为\(k\),有两种操作:
  1. '+'按钮:使得\(x=x+k\)
  2. '√'按钮:使得\(x=\sqrt{x}\),此时\(x\)必须是平方数,游戏等级加1,即\(k=k+1\),且\(\sqrt{x}\)是\(k+1\)的倍数。
  • 游戏开始时,\(x=2,k=1\),输出\(n(n \le 10^5)\)个数,表示每个等级对应的\(\frac{x}{k}\)值(就是倍数),并且输出的值不超过\(10^{18}\)。
  • 任意时刻,\(x\)必须是\(k\)的倍数。

    Additionally, after each move, if ZS the Coder is at level k, and the number on the screen is m, then m must be a multiple of k.

思路

  • 设\[x=kp=(k+1)^2q^2\]
  • 则\[p=\frac{(k+1)^2q^2}{k}\]
    如果令\(q=k\),得\[p=k(k+1)^2\]
    这样的倍数显然满足题意。

代码


D. Complete The Graph

题意

  • 一张图有\(n(n \le 10^3)\)个点,\(m(m \le 10^4)\)条边。
  • 每条边有权值(均为正整数),当边权为0时,表示需要重新赋值,使得\(s \to t\)的最短路径长为\(L(L \le 10^9)\)。
  • 若存在一种方案,输出"YES"和所有边的边权;否则输出"NO"。

思路

  • 是否存在可以通过极端情况判断,即将所有0边赋值为1以及全赋值为L。
  • 若存在,显然可以二分出权值\(x\),使得所有0边均赋值为\(x\)时,\(s \to t\)的最短路刚好大于或等于\(L\)。
  • 此时我们可以通过将某些边从\(x\)变成\(x-1\)使得最短路变成\(L\),这样的时间复杂度为\(O(NM\log{N})\),是可以解决的。
  • 题解提到了一种复杂度更优的做法,大概思想是二分找到第一条0边,使得最短路小于\(L\),找到后再二分该边的权值,使得最短路刚好为\(L\)。

代码


E. Digit Tree

题意

  • 给一棵树,有\(n(n \le 10^5)\)个点。
  • 边有权值\(w_i(1 \le w_i \le 9)\)。
  • 求路径\((u,v)\)使得\(u \to v\)路径构成的大数模\(m\)为0,其中\(gcd(10, m) = 1\)。

思路

  • 点分治
  • 根据欧拉定理\[x^{\phi{(m)}}\equiv 1(mod \verb' 'm), gcd(x, m)=1\]可以求出10的逆元。

代码

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