@topcoder - TCO19 Regional Wildcard Wildcard Round - D1L2@ Diophantine

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• @accepted code@
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@description@

令 p[] 为质数序列：p[0] = 2, p[1] = 3, p[2] = 5，以此类推。

令 D 为正整数常数。对于每一个 i >= 0，令 q[i] = q[i] * q[i + D]。

考虑等式 V + W + X + Y = Z。

现给定 N 与 D。统计上面等式的解的数量，同时要求 V <= W <= X <= Y 且所有量 V, W, X, Y, Z 都属于集合 Q = {q[0], q[1], ..., q[N-1]}。

Constraints

1 <= N <= 2500，0 <= D <= 2500。

Examples

0)

15

1

Returns: 2

两个解如下：

6 + 15 + 323 + 323 = 667

6 + 143 + 221 + 1147 = 1517

2470

0

Returns: 0

不存在任何解。

@solution@

假如等式是这样的：W + X + Y = Z。

我们可以变为 W + X = Z - Y，然后 meet in the middle 即可。

那么 5 个变量怎么办呢？注意还有一个条件：p 是质数。

质数有一个什么性质呢？比较复杂的性质当然不是我们分析的目标。我们只考虑质数的奇偶性。

奇偶分析一波，可以发现 5 个变量不可能同时为奇数。然而质数中只有 2 为偶数，所以相当于一定存在一个 2。

而又因为 2 是最小的那个质数，所以得到 V = 2*p[D]。

然后就可以愉快地 meet in the middle 了。

@accepted code@

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;
class Diophantine{
	#define MAXN 2500
	#define PRIME 60000
	#define HASHSIZE 1000037
	typedef long long ll;
	typedef pair<ll, int> pii;
	#define fi first
	#define se second
	private:
	int prm[PRIME + 5], nprm[PRIME + 5], pcnt;
	void sieve() {
		for(int i=2;i<=PRIME;i++) {
			if( !nprm[i] ) prm[pcnt++] = i;
			for(int j=0;i*prm[j]<=PRIME;j++) {
				nprm[i*prm[j]] = true;
				if( i % prm[j] == 0 ) break;
			}
		}
	}
	vector<pii>hsh[HASHSIZE];
	void hash_insert(ll x) {
		int y = x % HASHSIZE;
		for(int i=0;i<hsh[y].size();i++)
			if( hsh[y][i].fi == x ) {
				hsh[y][i].se++;
				return ;
			}
		hsh[y].push_back(make_pair(x, 1));
	}
	int hash_search(ll x) {
		int y = x % HASHSIZE;
		for(int i=0;i<hsh[y].size();i++)
			if( hsh[y][i].fi == x )
				return hsh[y][i].se;
		return 0;
	}
	public:
	ll q[MAXN + 5];
	int countSolutions(int N, int D) {
		sieve();
		for(int i=0;i<N;i++)
			q[i] = prm[i] * prm[i + D];
		int ans = 0;
		for(int i=N-1;i>=0;i--) {
			for(int j=i+1;j<N;j++)
				if( q[j] - q[i] - q[0] > 0 )
					hash_insert(q[j] - q[i] - q[0]);
			for(int j=i;j>=0;j--)
				ans += hash_search(q[i] + q[j]);
		}
		return ans;
	}
};

@details@

一开始看错题了，还以为只有 4 个变量，然后就以为是 meet in the middle 的题。

结果发现是 5 个变量，然后修正一下想法就过了。

这算是。。。因祸得福吗。。。