代码随想录算法训练营Day24 回溯算法| 理论基础 77. 组合

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回溯

什么是回溯法

回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。

在二叉树系列中，我们已经不止一次，提到了回溯，例如二叉树：以为使用了递归，其实还隐藏着回溯。

回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。

回溯法的效率

回溯法的性能如何呢，这里要和大家说清楚了，虽然回溯法很难，很不好理解，但是回溯法并不是什么高效的算法。

因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改不了回溯法就是穷举的本质。

那么既然回溯法并不高效为什么还要用它呢？

因为没得选，一些问题能暴力搜出来就不错了，撑死了再剪枝一下，还没有更高效的解法。

回溯法解决的问题

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等
  
  相信大家看着这些之后会发现，每个问题，都不简单！
  
  另外，会有一些同学可能分不清什么是组合，什么是排列？
  
  组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序。
  
  例如：{1, 2} 和 {2, 1} 在组合上，就是一个集合，因为不强调顺序，而要是排列的话，{1, 2} 和 {2, 1} 就是两个集合了。
  
  记住组合无序，排列有序，就可以了。

如何理解回溯法

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构，是的，我指的是所有回溯法的问题都可以抽象为树形结构！

因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。

递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。

这块可能还不太理解，后面的回溯算法解决的所有题目中，都会强调这一点并画图举相应的例子，现在有一个印象就行。

回溯法模板

回溯三部曲

• 回溯函数模板返回值及参数
  
  回溯算法中函数返回值一般为void。
  
  伪代码：

void backtracking(参数)

• 回溯函数终止条件
  
  回溯函数仍是树形结构，所以一定要有终止条件，满足条件时即可
• 回溯搜索的遍历过程
  
  回溯法一般是集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度。
  
  

回溯函数遍历过程伪代码为：

for(选择：本层集合中元素（书中节点孩子的数量就是集合的大小）){
	处理节点；
	backtracking(路径，选择列表);//递归
	回溯，撤销处理结果
}

for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，for就执行多少次。

backtracking在这里自己调用自己，实现递归。

for循环可以理解是横向遍历，backtracking是纵向遍历。

框架如下：

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

77.组合

题目链接：77.组合

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

示例:
输入: n = 4, k = 2
输出:
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]

总体思路

最直接的想法是用两个for循环进行输出，但k的值就是循环的层数，当k越大时就越难进行使用，所以本题应该使用回溯。

回溯搜索法来了，虽然回溯法也是暴力，但至少能写出来，不像for循环嵌套k层让人绝望。(回溯也是暴力，只不过更文明)

那么回溯法怎么暴力搜呢？

上面我们说了要解决 n为100，k为50的情况，暴力写法需要嵌套50层for循环，那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题。

递归来做层叠嵌套（可以理解是开k层for循环），每一次的递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了。

此时递归的层数大家应该知道了，例如：n为100，k为50的情况下，就是递归50层。

本题可称为如下树状结构：



回溯三部曲

• 回溯函数返回值及参数
  
  首先定义两个全局变量，一个用来储存符合条件的单一结果，另一个存放符合条件结果的集合

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果

函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k个数，那么n和k是两个int型的参数。

然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。

为什么要有这个startIndex呢？startIndex 就是防止出现重复的组合。

从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。



所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex)

• 回溯函数的终止条件
  
  什么时候到达所谓的叶子节点了呢？
  
  path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
  
  此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。
  
  所以终止条件代码如下：

if (path.size() == k) {
    result.push_back(path);
    return;
}

• 回溯函数的遍历过程
  
  回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。
  
  
  
  for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。
  
  代码如下：

for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历
    path.push_back(i); // 处理节点
    backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
    path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
}

可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。

backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。

最终代码实现：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
    vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1); // 递归
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear(); // 可以不写
        path.clear();   // 可以不写
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

回溯模板：

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}