洛谷P3694 邦邦的大合唱站队【状压dp】

状压dp

应用思想，找准状态，多考虑状态和\(f\)答案数组的维数（这个题主要就是找出来状态如何转移）

题目背景

\(BanG Dream!\)里的所有偶像乐队要一起大合唱，不过在排队上出了一些问题。

题目描述

\(N\)个偶像排成一列，他们来自\(M\)个不同的乐队。每个团队至少有一个偶像。

现在要求重新安排队列，使来自同一乐队的偶像连续的站在一起。重新安排的办法是，让若干偶像出列（剩下的偶像不动），然后让出列的偶像一个个归队到原来的空位，归队的位置任意。

请问最少让多少偶像出列？

输入格式

第一行\(2\)个整数\(N\)，\(M\)。

接下来\(N\)个行，每行一个整数\(a_i(1\le a_i \le M)\)，表示队列中第i个偶像的团队编号。

输出格式

一个整数，表示答案

输入输出样例

输入

12 4

1

3

2

4

2

1

2

3

1

1

3

4

输出

7

说明/提示

【样例解释】

\(1 \ 3 \ √\\
3\ 3\\
2\ 3 \ √\\
4 \ 4\\
2 \ 4 \ √\\
1 \ 2 \ √\\
2 \ 2\\
3 \ 2 \ √\\
1 \ 1\\
1 \ 1\\
3 \ 1 \ √\\
4 \ 1 \ √\)

【数据规模】

对于\(20\%\)的数据，\(N\le 20, M=2\)

对于\(40\%\)的数据，\(N\le 100, M\le 4\)

对于\(70\%\)的数据，\(N\le 2000, M\le 10\)

对于全部数据，\(1\le N\le 10^5\), \(M\le 20\)

分析

看到这友好的乐队数范围，很容易就想到了状压dp，但是状态到底找哪个，记录答案的\(f\)数组开几维都是问题，我们来分析一下，题目中给出的乐队\(M\)的范围是\(20\)，而状态压缩就是从小的范围入手的，所以\(f\)数组的状态那一维肯定是关于乐队的，再看题目中问的，询问的是要最少拿出来多少人，那么这个状态肯定就是第几个乐队入队的状态，记录的是当前状态下出队人数的最小，然后枚举最后一个位置的乐队，那么需不需要第二维呢？看起来是不需要的，因为我们每次转移都是从上一次当前乐队的人未放入到放入，然后加上当前乐队人数，减去增加的长度中当前乐队的人数，也就是算出前边需要出队的人数（这个人数用\(sum\)数组记录前缀和来实现），就是这一次需要拿出来的人数，然后每次转移都取一次\(min\)，最终状态全为\(1\)的时候的\(f\)数组就是答案。状态转移方程如下：

\[f[i] = min(f[i \ xor \ (1<<(j-1) ] + num[j] - (sum[len][j]-sum[len-num[j]][j]),f[i])
\]

其中\(num\)是第\(j\)个乐队的人数，\(len\)是到现在状态的队伍长度，预处理一下就可以。\(sum\)就是当前乐队在这一段中的人数。

如果一共有\(M\)个乐队，最终答案就是\(f[(1<<M)-1]\)

总结一下数组代表的东西：

\(f[i]\)代表状态为\(i\)时出队的最小人数,\(sum[i][j]\)表示前\(i\)长度里，\(j\)乐队的人数，\(num[j]\)代表的就是\(j\)乐队的总人数。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 21;
int f[1<<maxn];
int num[maxn];
int a[100005];
int sum[100005][maxn];
int n,m;
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        num[a[i]]++;//记录每个乐队的总人数
        for(int j=1;j<=m;++j)sum[i][j] = sum[i-1][j];//初始化sum数组
        sum[i][a[i]]++;//求每个乐队人数的前缀和
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));//初始化最大值
    f[0] = 0;//一个乐队都没有的时候取0人
    for(int i=1;i<(1<<m);++i){
        int len = 0;
        for(int j=1;j<=m;++j)if(i & (1<<(j-1)))len += num[j];//如果当前状态下取了j乐队的人，总人数就加上j乐队的人数
        for(int j=1;j<=m;++j){//枚举站在最后一个位置的乐队
            if(i & (1<<(j-1)))//效率优化，当前状态取了他再进行取min，不然取min没有意义
                  f[i] = min(f[i],f[i ^ (1<<(j-1))] + num[j] - sum[len][j]+sum[len - num[j]][j]);//状态转移，取第j个乐队要加上该乐队人数，减去这一段中本来就有的该乐队人数
        }
    }
    int ans = f[(1<<m)-1];
    cout<<ans;
}