codeforces 1045 D. Interstellar battle

题目大意：一颗树，给定每个点消失的概率，求出连通块的期望值。要求支持修改消失概率的操作并且给出每次修改过后的期望值。注意被破坏的点不能算入连通块中。

数据范围，时限1S。

传送门 D. Interstellar battle

我们考虑做有根树的DP。设1为根。

我们设为v节点消失的概率，设分别表示v节点被破坏/没被破坏时的连通块期望值。

解释一下f[v][1]的转移方程：因为如果v节点没有被破坏，并且儿子节点sn也没有被破坏，那么连通块的个数会减少，减少的数量就是sn所在的连通块的期望，也就是。

当然我们不可能每次询问了就DFS一遍计算，所以我们需要再研究一下递推式。

我们先只考虑4号点对答案的贡献。我么按照递推式模拟一遍。

最后答案就是，也就是。推广到一般情况：v对答案的贡献就是，特别地，设（0是1的父亲）。

知道这个结论过后维护起来就特别方便了。我们记。修改一个点的概率时就相应地修改值就行了（具体见代码）。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<ctime>
#define ll long long
#define N 100005

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n,m;
double p[N];
struct load {int to,next;}s[N<<1];
int h[N],cnt;
void add(int i,int j) {s[++cnt]=(load) {j,h[i]};h[i]=cnt;}
int fa[N];
double sum[N];
void dfs(int v,int fr) {
	for(int i=h[v];i;i=s[i].next) {
		int to=s[i].to;
		if(to==fr) continue ;
		fa[to]=v;
		dfs(to,v);
		sum[v]+=(1-p[to]);
	}
}
double ans,c;
int main() {
	n=Get();
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&p[i]);
	p[0]=1;
	int a,b;
	for(int i=1;i<n;i++) {
		a=Get()+1,b=Get()+1;
		add(a,b),add(b,a);
	}
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		ans+=p[fa[i]]*(1-p[i]);
	}
	m=Get();
	while(m--) {
		a=Get()+1;
		scanf("%lf",&c);
		ans-=p[fa[a]]*(1-p[a]);
		ans-=sum[a]*p[a];
		sum[fa[a]]-=1-p[a];
		p[a]=c;
		ans+=p[fa[a]]*(1-p[a]);
		ans+=sum[a]*p[a];
		sum[fa[a]]+=1-p[a];
		cout<<ans<<"\n";
	}
	return 0;
}

然而，总觉得我的做法太不清真了。网上一搜题解，才发现了自己的naive。原来期望是可以分开计算的，也就是说可以分别算出每一对节点对答案的贡献在加起来。然后公式基本相同的。