P6628-[省选联考 2020 B 卷] 丁香之路【欧拉回路,最小生成树】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6628

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题目大意

给出\(n\)个点的一张完全无向图，\(i\sim j\)的边权是\(|i-j|\)。

然后给出\(m\)条必经边，和起点\(s\)。

求对于每个终点经过所有必经边的最短路径。

\(1\leq n\leq 2500,0\leq m\leq \frac{n(n-1)}{2}\)

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解题思路

很经典的模型，首先起点和终点连一条边，然后考虑加最少的边使得有欧拉回路。

欧拉回路有两个条件，度数都是偶数很好满足，直接把相邻的奇点连边肯定最优，但是还需要满足连通的条件。

考虑到图上边权的特殊性，我们显然只需要使用形如\(i\sim i+1\)的边，而这些边没有必要替代之前新加的边。所以直接拿这些边跑剩下连通块的最小生成树就好了。

时间复杂度\(O(m+n^2\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2510;
struct edge{
	int x,y,w;
}e[N];
int n,m,s,cnt,ans,k,B[N*N];
int deg[N],fa[N],pf[N],b[N<<1];
int find(int x)
{return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));}
void unionn(int x,int y){
	x=find(x);y=find(y);
	if(x!=y)fa[x]=y;
	return;
}
bool cmp(edge x,edge y)
{return x.w<y.w;}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
	for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		unionn(x,y);deg[x]++;deg[y]++;
		B[++cnt]=x;B[++cnt]=y;sum+=abs(x-y);
	}
	B[++cnt]=s;sort(B+1,B+1+cnt);
	cnt=unique(B+1,B+1+cnt)-B-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)pf[i]=find(i);
	deg[s]++;m=0;
	for(int t=1;t<=n;t++){
		deg[t]++;ans=sum;int last=0;
		for(int i=1;i<=cnt;i++)b[i]=B[i];
		k=cnt;b[++k]=t;
		sort(b+1,b+1+k);
		k=unique(b+1,b+1+k)-b-1;
		for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=pf[i];
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(deg[i]&1){
				if(last){
					for(int j=last;j<i;j++)unionn(i,j);
					ans+=i-last;last=0;
				}
				else last=i;
			}
		for(int i=1;i<k;i++)
			e[i]=(edge){b[i],b[i+1],b[i+1]-b[i]};
		sort(e+1,e+k,cmp);
		for(int i=1;i<k;i++){
			int x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);
			if(x==y)continue;
			fa[x]=y;ans+=e[i].w*2;
		}
		printf("%d ",ans);deg[t]--;
	}
	return 0;
}