【洛谷P4318】完全平方数

题目大意：求第 K 个无平方因子数。

题解：第 k 小/大的问题一般采用二分的方式，通过判定从 1 到当前数中满足某一条件的数有多少个来进行对上下边界的转移。

考虑莫比乌斯函数的定义，根据函数值将整数分成了三类，第一类是有平方因子的数，第二类是无平方因子且质因子个数为奇数的数，第三类是无平方因子且质因子个数为偶数的数。我们要求的是$$\sum\limits_{i=1}^n\mu2(i)$$考虑莫比乌斯函数划分出的三类整数对答案的贡献，发现对于一个数 \(p\) 对答案的贡献为 \((-1)^s\lfloor {n\over p^2}\rfloor\)，观察到每个数的莫比乌斯函数刚好是其对答案贡献的系数，因此可以在 \(O(\sqrt n)\) 时间内进行答案判定，总复杂度为 \(O(\sqrt n logn)\)。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+10;

ll k;
int mu[maxn],prime[maxn],tot;
bool vis[maxn];

void seive(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=1e6;i++){
		if(!vis[i])prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;i*prime[j]<=1e6;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)break;
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
}

ll calc(ll mid){
	ll ret=0;
	for(ll i=1;i*i<=mid;i++)ret+=mu[i]*mid/(i*i);
	return ret;
}

ll solve(){
	ll l=1,r=10*k;
	while(l<r){
		ll mid=l+r>>1;
		if(calc(mid)>=k)r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	return l;
}

int main(){
	seive();
	int T;scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld",&k);
		printf("%lld\n",solve());
	}
	return 0;
}