leetcode-64-最小路径和

题目描述：

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例:

输入:
[
 [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

要完成的函数：

int minPathSum(vector<vector<int>>& grid)

说明：

1、给定一个二维数组grid，表示一个网格中所有点的代价，要找到一条从网格左上角到右下角的路径，只能向下走，或者向右走，使得这条路径上的代价的和最小。

最后返回这个最小的代价和。

2、这道题如果使用暴力穷举法，除了最后一行的元素和最后一列的元素都只有一种选择外（右下角元素没有选择），其余元素都有两种选择。

比如第一行第一列的元素1，可以选择往右走或者往下走，两种选择。

当网格变大之后，穷举法太耗时了。因此我们采用其他方法。

学习过算法设计的同学一看这道题应该就能想到动态规划的方法。

我们用动态规划的方法记录到达每一个点的最小路径代价。

左上角的元素的最小路径代价肯定就是自身。

其余元素的最小路径代价，要不就是左边元素的最小路径代价+自身代价，要不就是上方元素的最小路径代价+自身代价，最后两者之中取一个小的，作为自身这个元素的最小路径代价。

不断地迭代下去，最后右下角的元素的最小路径代价就是我们所求的。

代码如下：（附详解）

    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid)
    {
        if(grid.empty())return 0;//如果矩阵是空的，那么返回0
        int hang=grid.size(),lie=grid[0].size();
        vector<vector<int>>record(hang,vector<int>(lie,0));//初始化一个矩阵用来记录每一个点的最小路径代价
        for(int i=0;i<hang;i++)
        {
            for(int j=0;j<lie;j++)
            {
                if(i==0&j==0)//如果是左上角的元素，代价等于自身
                    record[i][j]=grid[i][j];
                else
                {
                    if(i==0)//如果是第0行的元素，代价只能从左边元素“继承”过来
                        record[i][j]=record[i][j-1]+grid[i][j];
                    else if(j==0)//如果是第0列的元素，代价只能从上方元素“继承”过来
                        record[i][j]=record[i-1][j]+grid[i][j];
                    else//如果是中间部分的元素，就取两者之中小的那一个
                        record[i][j]=min(record[i][j-1]+grid[i][j],record[i-1][j]+grid[i][j]);
                }
            }
        }
        return record[hang-1][lie-1];
    }

上述代码实测8ms，beats 96.95% of cpp submissions。