MT【143】统一分母

已知$a,b>0$，则$m=\dfrac{b^2+2}{a+b}+\dfrac{a^2}{ab+1}$的最小值是______

解答:

$$m\geqslant \dfrac{b^2+2}{\sqrt{a^2+1}\cdot \sqrt{1+b^2}}+\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2+1}\cdot \sqrt{b^2+1}}=\dfrac{(a^2+1)+(b^2+1)}{\sqrt{a^2+1}\cdot \sqrt{b^2+1}}\geqslant 2$$

当$a=1,b=1$时取到最小值$2$．