【字符串】 Z-algorithm

Z-algorithm

Algorithm

Task

给定一个文本串 \(S\) 和一个模式串 \(T\)，求 \(T\) 对于 \(S\) 的每个后缀子串的公共前缀子串。

Limitations

要求时空复杂度均为线性

Solution

设 \(X\) 是一个字符串，则以下表述中，\(X_u\) 代表 \(X\) 的第 \(u\) 个字符，\(X_{u \sim v}\) 代表 \(X\) 的从 \(u\) 起到 \(v\) 结束的字串。

设 \(n = |S|,~m = |T|\)。

考虑按照长度由大到小扫描 \(S\) 的后缀字串，设当前要求 \(S_{i \sim n}\) 与 \(T\) 的公共前缀子串，则 \(\forall k \in [1, ~i),~S_{k \sim n}\) 的答案都已计算完成。

设先前的计算中，匹配到 \(S\) 最远的一次为第 \(p\) 次，即 \(p + ans_p\) 在所有 \(k + ans_k\) 中最大，设 \(q = p + ans_p\)。显然有 \(p < i\)。

首先不妨设 \(q \geq i\)。\(q < i\) 的情况将在下方说明。

设 \(j = i - p + 1\)，不难发现 \(T_j = S_i\)，即 \(j\) 是 \(S_i\) 的对应匹配位置。

由于所求是公共前缀字串，因此有

\[S_{p \sim q} = T_{1 \sim ans_p}
\]

引入一组辅助变量，设 \(next_j\) 为 \(T_{j \sim m}\) 与 \(T\) 的最长公共前缀子串长度。

根据定义，有

\[T_{j \sim j + next_j} = T_{1 \sim next_j}
\]

分两种情况讨论。

第一种情况，\(j + next_j < q\)，即 \(T_{j \sim j + next_j}\) 是 \(S_{p \sim q}\) 的字串，因此有

\[T_{j \sim j + next_j} = S_{i \sim i + next_j}
\]

又因为 \(T_{j \sim j + next_j} = T_{1 \sim next_j}\)（已证），等量代换得到

\[S_{i \sim i + next_j} = T_{1 \sim next_j}
\]

对于 \(S_i + next_j + 1\)，则可以用反证法证明其不等于 \(T_{next_j + 1}\)，否则由于 \(T_{j + next_j + 1}\) 依然是 \(S_{p \sim q}\) 的字串，所以 \(T_{j + next_j + 1} = T_{next_j + 1}\)，这与 \(next_j\) 是最长前缀公共子串矛盾。

因此，对于这种情况，答案即为 \(next_j\)。

第二种情况，\(j + next_j \geq q\)，即 \(T_{j \sim j + next_j}\) 不全是是 \(S_{p \sim q}\) 的字串，因此有

首先可以用与第一种情况相同的证明方式证明 \(S_{i \sim q} = T_{1 \sim q - i + 1}\)，即 \(q\) 及以前的字符可以与 \(T\) 完美匹配，而对于 \(q\) 后面的字符，我们暴力将其与 \(T\) 匹配，同时更新 \(p\) 和 \(q\) 的位置即可。

对于 \(q < i\) 的情况，显然 \(q = i - 1\)，直接继续暴力进行匹配即可。

考虑时间复杂度：

除掉暴力匹配的环节，剩下的部分显然都是单次 \(O(1)\) 完成，因此这一部分的复杂度是线性的。

考虑每次暴力匹配都会让 \(q\) 右移，所以暴力匹配的次数是线性的，而单次暴力匹配是 \(O(1)\) 的，因此算法的时间复杂度是线性的。

考虑 \(next\) 数组的计算：我们发现这相当于令文本串 \(S = T\)，只需要预处理 \(next_1\) 与 \(next_2\)，可以发现从 \(next_3\) 起，计算所需要的 \(next\) 值都已经在之前被计算过。

Sample

【P5410】 【模板】扩展 KMP

Description

给定一个文本串 \(S\) 和一个模式串 \(T\)，求 \(T\) 对于 \(S\) 的每个后缀子串的公共前缀子串。并输出 \(T\) 的每个后缀字串与 \(T\) 的公共前缀子串长度。

Limitations

字符串长度不超过 \(10^5\)

Solution

板板题。算法在实现上比较吃细节，注意比较大于小于的时候是否应该加等于号。记得对拍

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

const int maxn = 100005;

int nxt[maxn];
char S[maxn], T[maxn];

void Z_algorithm(const char *const A, const char *const B, const int x, const int y, const bool pt);

int main() {
  freopen("1.in", "r", stdin);
  scanf("%s\n%s", S + 1, T + 1);
  int x = strlen(S + 1), y = strlen(T + 1);
  nxt[1] = y;
  Z_algorithm(T, T, y, y, false);
  for (int i = 1; i <= y; ++i) {
    qw(nxt[i], i == y ? '\n' : ' ', true);
  }
  Z_algorithm(S, T, x, y, true);
  putchar('\n');
  return 0;
}

void Z_algorithm(const char *const A, const char *const B, const int x, const int y, const bool pt) {
  int p = 0, q = 1;
  if (!pt) {
    while ((q < x) && (A[q] == A[q + 1])) ++q;
    nxt[p = 2] = q - 1;
    q = std::max(q, 2);
  } else {
    while ((q <= x) && (q <= y) && (A[q] == B[q])) ++q;
    p = 1;
    qw(--q, ' ', true);
  }
  for (int i = pt ? 2 : 3, _ans; i <= x; ++i) {
    int a = i - p + 1;
    int len = nxt[a];
    if ((i + len - 1) >= q) {
      _ans = std::max(0, q - i + 1);
      while ((q < x) && (_ans < y) && (A[q+1] == B[_ans+1])) {
        ++_ans; ++q;
      }
      q = std::max(p = i, q);
    } else {
      _ans = len;
    }
    if (pt) {
      qw(_ans, ' ', true);
    } else {
      nxt[i] = _ans;
    }
  }
}