[NOI1999] 棋盘分割（推式子+dp）

http://poj.org/problem?id=1191

棋盘分割

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Description

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行) 

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。 
均方差，其中平均值，x_i为第i块矩形棋盘的总分。 
请编程对给出的棋盘及n，求出O'的最小值。 

Input

第1行为一个整数n(1 < n < 15)。 
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。 

Output

仅一个数，为O'（四舍五入精确到小数点后三位）。

Sample Input

3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3

Sample Output

1.633

Source

Noi 99

 

 

/*
设f(i,a,b,c,d)表示切第i刀，剩余的矩形左上角和右下角的坐标是(a,b)和(c,d)，
除了剩余部分其它部分的xi平方和的最小值。
那么f(i)可以向f(i+1)转移，只需要暴力枚举第i+1刀从哪里切了一刀即可。
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;
const int inf=<<;
int n, chess[][],sum[][],dp[][][][][];

int getX(int y1, int x1, int y2, int x2)
{
    int a=sum[y2][x2]-sum[y2][x1-]-sum[y1-][x2]+sum[y1-][x1-];
    return a*a;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i=; i<=; i++)
        for(int j=; j<=; j++)
            scanf("%d", &chess[i][j]);
    for(int i=; i<=; i++)
    {
        for(int j=; j<=; j++)
            sum[i][j]=sum[i][j-]+chess[i][j];
        for(int j=; j<=; j++)
            sum[i][j]+=sum[i-][j];
    }

    for(int i1=; i1<=; i1++)
      for(int j1=; j1<=; j1++)
        for(int i2=i1; i2<=; i2++)
          for(int j2=j1; j2<=; j2++)
            dp[i1][j1][i2][j2][]=getX(i1, j1, i2, j2);

    for(int i=; i<n; i++)
      for(int i1=; i1<=; i1++)
        for(int j1=; j1<=; j1++)
          for(int i2=i1; i2<=; i2++)
            for(int j2=j1; j2<=; j2++)
            {
                dp[i1][j1][i2][j2][i]=inf;
                //左右切割
                for(int k=j1; k<j2; k++)
                  dp[i1][j1][i2][j2][i]=min(dp[i1][j1][i2][j2][i], min(dp[i1][j1][i2][k][i-]+dp[i1][k+][i2][j2][], dp[i1][j1][i2][k][]+dp[i1][k+][i2][j2][i-]));
                //上下切割
                for(int k=i1; k<i2; k++)
                  dp[i1][j1][i2][j2][i]=min(dp[i1][j1][i2][j2][i], min(dp[i1][j1][k][j2][i-]+dp[k+][j1][i2][j2][], dp[i1][j1][k][j2][]+dp[k+][j1][i2][j2][i-]));
            }
    printf("%d\n",dp[][][][][n-]);
    return ;
}