学习笔记 ST算法

【引子】RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题：

对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在i,j里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。

{方法}

           1、朴素（即搜索），O(n)-O(qn) online。

           2、线段树，O(n)-O(qlogn) online。

　　　　3、ST（实质是动态规划），O(nlogn)-O(q) online。

　　　　　　　　ST算法（Sparse Table），以求最大值为例，设d[i,j]表示[i,i+2^j-1]这个区间内的最大值，那么在询问到[a,b]区间的最大值时答案就是 max(d[a,k], d[b-2^k+1,k])，　　　　　　　　其中k是满足2^k<=b-a+1(即长度)的最大的k,即k=[ln(b-a+1)/ln(2)]。

　　　　　　　　d的求法可以用动态规划，d[i, j]=max(d[i, j-1],d[i+2^(j-1), j-1])。

　　　　4、RMQ标准算法：先规约成LCA（Lowest Common Ancestor），再规约成约束RMQ，O(n)-O(q) online。

　　　　　　　　首先根据原数列，建立笛卡尔树，从而将问题在线性时间内规约为LCA问题。LCA问题可以在线性时间内规约为约束RMQ，也就是数列中任意两个相邻的数的差都是+1或-1　　　　　　　　的RMQ问题。约束RMQ有O(n)-O(1)的在线解法，故整个算法的时间复杂度为O(n)-O(1)。

【例】给定数组，询问区间最小值。（无修改)
    （数据范围不用线段树）

【解】可以写一个线段树，但是预处理和查询的复杂度都是O（logn)，存心的话可以给你卡掉。

　　所以采用ST算法，它可以做到O(nlogn)的预处理，O(1)地回答每个询问

　　f[i][j]表示数组p从位置i开始到位置i+2^j-1的最小值
　　f[i][j]=min(f[i+(1<<(j-1))][j-1],f[i][j-1]);f[i][0]=p[i].
　　求a~b的最小值，就是找出比b-a+1小的最大的二的幂次k
　　有ans=min(f[a][k],f[b-(1<<k)+1][k])

【原理】

nlogn预处理出Min[][]和Max[][]，查询的时候O(1)查询。

Max[j][i]或Min[j][i]代表，从j的位置开始，长度为2^i的子段中的最大值或最小值。

然后预处理的时候递推。

询问的时候先算出[l,r]的长度的2的对数，然后取出答案即可。

是一种优秀的存取方法。

【实现】(以最大值为例）：
    首先是预处理，用一个DP解决。设a[i]是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5
6 8 1 2 9 7
,f[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。
f[1，2]=5，f[1，3]=8，f[2，0]=2，f[2，1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样，Dp的状态、初值都
已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把f[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一
段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5
和
6,8,1,2这两段。f[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max（F[i，j-1],F[i+2^(j-
i)，j-1]）.
     
  
 接下来是得出最值，也许你想不到计算出f[i，j]有什么用处，想计算max还是要O(logn)，甚至O(n)。但有一个很好的办法，做到了
O（1）。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由
f[2，2]和f[5，2]得到。扩展到一般情况，就是把区间[l，r]分成两个长度为2^n的区间（保证有f[i，j]对应）

【模板代码】

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #include<cstdlib>
 #include<iomanip>
 #include<cassert>
 #include<climits>
 #define maxn 100001
 #define F(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
 #define M(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 #define FF(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
 #define inf 0x7fffffff
 #define maxm 21
 using namespace std;
 int read(){
     int x=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 int fm[maxn][maxm],fi[maxn][maxm],p[maxn];
 int n,q;
 inline int init()
 {
     cin>>n>>q;
     F(i,,n){
         cin>>p[i];
     }
     F(i,,n){
         fm[i][]=fi[i][]=p[i];
     }
     int m=floor((int)(log10((double)n)/log10((double))));
     F(j,,m)F(i,,n){
         fm[i][j]=max(fm[i+(<<(j-))][j-],fm[i][j-]);
         fi[i][j]=min(fi[i+(<<(j-))][j-],fi[i][j-]);
     }
 }
 inline int stmax(int a,int b)
 {
     int m=floor((int)(log10((double)(b-a+))/log10((double))));
     return max(fm[a][m],fm[b-(<<m)+][m]);
 }
 inline int stmin(int a,int b)
 {
     int m=floor((int)(log10((double)(b-a+))/log10((double))));
     return min(fi[a][m],fi[b-(<<m)+][m]);
 }
 int main()
 {
     std::ios::sync_with_stdio(false);//cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(1)<<y;
 //  freopen("data.in","r",stdin);
 //  freopen("data.out","w",stdout);
     init();int c,d;
     while(q--)
     {
         int a,b;
         cin>>a>>b;
         if(a>b) swap(a,b);
         c=stmax(a,b);
         d=stmin(a,b);
         cout<<c<<endl<<d<<endl;
      }
      return ;
 }

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