本篇先介绍IEEE754标准中针对浮点数的规范,然后以问答形式补充有关浮点数的知识点。

(一)IEEE754标准

IEEE 754 标准即IEEE浮点数算术标准,由美国电气电子工程师学会(IEEE)计算机学会旗下的微处理器标准委员会发布。

以32位float数据为例,在内存中的存储形式是1bit的符号位(S),8bit表示指数部分(Exp),23表示小数部分的尾数(Fraction)。

表一 单精度浮点数在内存中存储形式

1bit符号

8bit指数部分

23bit尾数

符号位——S取0时表示负数,取1时表示负数。

指数部分——使用所谓的偏正值形式表示,而不是补码表示,即指数部分采用一个无符号的正数值存储。也就是说指数部分要表示的值等于实际存储值减去一个固定值(对于单精度float类型,是127)。采用这种方式表示的目的是简化比较,因为,如果采用补码表示的话,全体符号位S和Exp自身的符号位将导致不能简单的进行大小比较。因为指数值的大小从0~255(0和255是特殊值),单精度的指数部分范围是-127~+128(对应的,-127和128是特殊值)。

尾数部分——23bit尾数仅能表示小数部分的尾数,小数部分最高有效位由指数部分决定,具体见下表。小数部分最高有效位是1的数被称为正规形式。小数部分最高有效位是0的数被称为非正规形式,其他情况是特殊值。

表二 单精度浮点数表示规则

符号

指数

部分

指数部分-127

尾数部分

小数部分的

最高有效位

形式

1

255

128

非0

没有

NaN

1

255

128

0

没有

负无穷

1

1~254

-126~127

任意

1

正规形式(负数)

1

0

-127

非0

0

非正规形式(负数)

1

0

-127

0

没有

负0

0

0

-127

0

没有

正0

0

0

-127

非0

0

非正规形式(正数)

0

1~254

-126~127

任意

1

正规形式(正数)

0

255

128

0

没有

正无穷

0

255

128

非0

没有

NaN

按照IEEE标准,除了 NaN 以外,浮点数集合中的所有元素都是有序的。如果把它们从小到大按顺序排列好,那顺序将会是:负无穷,正规形式(负数)、非正规形式(负数)、负0、正0、非正规形式(正数)、正规形式(正数)、正无穷。

对于64bit的双精度double类型,在内存中的存储形式是1bit的符号位(S),11bit表示指数部分(Exp),52bit表示小数部分的尾数(Fraction)。指数部分的偏正值是1023,其他情况跟单精度类似,不再赘述。

(二)浮点数Q&A

1)浮点数可以表示数据的范围是什么?

不考虑特殊值(无穷大、NaN等),浮点数可以表示的范围是[-Max,Max]。其中Max是浮点数能表示的最大值,具体值参见表三。

表三 浮点数最大值

浮点类型

字节码

16进制表示

10进制表示

单精度

7f7fffff

0x1.fffffep127

3.4028235E38

双精度

7fefffffffffffff

0x1.fffffffffffffp1023

1.7976931348623157E308

2)浮点数的精度怎样衡量?

浮点数指数部分Exp的数值决定了浮点数与相邻浮点数的差值,所以,指数部分越小(单精度最小为-127),即浮点数绝对值越小(也就是浮点数越靠近0),相邻浮点数的差值越小(单精度最小为2^(-127)),浮点数能表示的有效小数位数越多。反之,指数部分越大(单精度最大为127),即浮点数绝对值越大(也就是浮点数越远离0),相邻浮点数的差值越大(单精度最小为2^(127)),浮点数能表示的有效小数位数越少。但是,从科学计算的角度看,不管指数部分的数值是多少,浮点数的有效位数由尾数部分决定,单精度的有效数是7位,双精度的有效数是16位。

表四 浮点数最小正数

浮点类型

字节码

16进制表示

10进制表示

单精度最小正数

00000001

0x0.000002p-126

1.4E-45

双精度最小正数

0000000000000001

0x0.0000000000001p-1022

4.9E-324

3)我们知道,在Java中,存在基本数据类型的自动转换,比如,直接将一个整形字面量赋给一个float变量。 那么,在自动转换后,整形的精度会丢失么?

当浮点集中没有与整形值对应的浮点数时,会将整形值转化成最接近的浮点值,此时,整形值会丢失精度。例如下面的例子,数值为33554431的整形转化成单精度浮点数后,变成3.3554432E7,即33554432。

int intValue = Integer.MAX_VALUE >> 6;// 33554431

float floatFromInt = intValue;

System.out.println(floatFromInt);// 3.3554432E7

System.out.println(intValue);// 33554431

最后附查看某些浮点数字节码、16进制表示、10进制表示的源码及运行结果。

单精度源码及结果。

 package com.wsm.test;

 public class TestFloat {

     /**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) { int intValue = Integer.MAX_VALUE >> 6;//
float floatFromInt = intValue;
System.out.println(floatFromInt);// 3.3554432E7
System.out.println(intValue);// System.out.printf("%-12s\t%-20s%-12s%-20s\n", "描述", "十六进制数",
" 字节码", " 十进制数");
print("正 无 穷", Float.POSITIVE_INFINITY);
print("最 大 值", Float.MAX_VALUE);
print("最小正规形式正数", Float.MIN_NORMAL);
print("最大非正规形式值", +0x0.fffffep-127f);
print("最 小 正 数", Float.MIN_VALUE);
print("负 无 穷", Float.NEGATIVE_INFINITY);
print("规 范 的 NaN", Float.NaN);
print("其 他 的 NaN", Float.intBitsToFloat(Integer
.valueOf(0xffc54321))); } static void print(String describe, float floatNum) {
System.out.printf("%-12s\t%-20s%-12s%-20s\n", describe, Float
.toHexString(floatNum), insertZero(Integer.toHexString(Float
.floatToRawIntBits(floatNum)), 8), floatNum);
} static String insertZero(String input, int length) {
StringBuilder sb = new StringBuilder(input);
while (sb.length() < length) {
sb.insert(0, "0");
}
return sb.toString();
}
}

Float

3.3554432E7
33554431
描述           十六进制数                       字节码             十进制数   
正        无         穷 Infinity            7f800000    Infinity           
最        大         值 0x1.fffffep127      7f7fffff    3.4028235E38       
最小正规形式正数     0x1.0p-126          00800000    1.17549435E-38     
最大非正规形式值     0x0.8p-126          00400000    5.877472E-39       
最    小      正    数 0x0.000002p-126     00000001    1.4E-45            
负         无        穷 -Infinity           ff800000    -Infinity          
规     范     的 NaN NaN                 7fc00000    NaN                
其     他     的 NaN NaN                 ffc54321    NaN

双精度源码及结果。

 package com.wsm.test;

 public class TestDouble {

     /**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) { System.out.printf("%-12s\t%-30s%-24s%-40s\n", "描述", "十六进制数",
" 字节码",
" 十进制数");
print("正 无 穷", Double.POSITIVE_INFINITY);
print("最 大 值", Double.MAX_VALUE);
print("最小正规形式正数", Double.MIN_NORMAL);
print("最大非正规形式值", +0x0.fffffffffffffp-1023d);
print("最 小 正 数", Double.MIN_VALUE);
print("负 无 穷", Double.NEGATIVE_INFINITY);
print("规 范 的 NaN", Double.NaN);
print("其 他 的 NaN", Double.longBitsToDouble(Long
.valueOf(0xfff8000000054321L))); } static void print(String describe, Double DoubleNum) {
System.out.printf("%-12s\t%-30s%-24s%-40s\n", describe, Double
.toHexString(DoubleNum), insertZero(Long.toHexString(Double
.doubleToRawLongBits(DoubleNum)), 16), DoubleNum);
} static String insertZero(String input, int length) {
StringBuilder sb = new StringBuilder(input);
while (sb.length() < length) {
sb.insert(0, "0");
}
return sb.toString();
}
}

Double

描述           十六进制数                                           字节码                                      十进制数
正        无         穷 Infinity                      7ff0000000000000        Infinity                               
最        大         值 0x1.fffffffffffffp1023        7fefffffffffffff        1.7976931348623157E308                 
最小正规形式正数     0x1.0p-1022                   0010000000000000        2.2250738585072014E-308                
最大非正规形式值     0x0.8p-1022                   0008000000000000        1.1125369292536007E-308                
最    小      正    数 0x0.0000000000001p-1022       0000000000000001        4.9E-324                               
负         无        穷 -Infinity                     fff0000000000000        -Infinity                              
规     范     的 NaN NaN                           7ff8000000000000        NaN                                    
其     他     的 NaN NaN                           fff8000000054321        NaN

参考资料:

1、IEEE754百度百科

2、《Java虚拟机规范(Java SE 7)》

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