[HEOI2015]小Z的房间

Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

Output

一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

3 3
...
...
.*.

Sample Output

15

HINT

对于前100%的数据，n,m<=9

图的生成树计数用Maxtrix-Tree定理

答案就是基尔霍夫Kirchhoff矩阵的行列和

详细的知识自行百度

直接计算复杂度很高

但可以转化为上三角，这样行列和就是对角线的积

因为求行列和有一些性质，于是我们可以通过高斯消元构造

性质.1  互换矩阵的两行(列)，行列式变号。

性质.2  如果矩阵有两行(列)完全相同，则行列式为 0

性质.3  如果矩阵的某一行(列)中的所有元素都乘以同一个数k，新行列式的值等于原行列式的值乘上数k。

性质.4  如果矩阵有两行(列)成比例(比例系数k)，则行列式的值为 0

性质.5  如果把矩阵的某一行(列)加上另一行(列)的k倍，则行列式的值不变。

证明见ZYYS

但是取模不能出现实数

于是采用辗转相除法，如果要使b为0

那么使得(a,b)=>(b,a%b),直到为0

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 int S,a[][],Mod=1e9,ans,n,m,id[][];
 char s[][];
 int guass()
 {int i,j,k;
   S--;
   for (i=;i<=S;i++)
     {
       for (j=;j<=S;j++)
     {
       a[i][j]=(a[i][j]+Mod)%Mod;
     }
     }
   ans=;
   for (i=;i<=S;i++)
     {
       for (j=i+;j<=S;j++)
     while (a[j][i])
     {
       int t=a[i][i]/a[j][i];
       for (k=i;k<=S;k++)
         {
           a[i][k]=(a[i][k]-1ll*t*a[j][k]%Mod+Mod)%Mod;
           swap(a[i][k],a[j][k]);
         }
       ans*=-;
     }
       ans=1ll*ans*a[i][i]%Mod;;
     }
   return (ans+Mod)%Mod;
 }
 int main()
 {int i,j;
   cin>>n>>m;
   for (i=;i<=m+;i++)
     s[][i]='*',s[n+][i]='*';
   for (i=;i<=n;i++)
     {
       scanf("%s",s[i]+);
       s[i][]=s[i][m+]='*';
     }
   for (i=;i<=n;i++)
     {
       for (j=;j<=m;j++)
     if (s[i][j]=='.')
     {
       id[i][j]=++S;
       if (s[i-][j]=='.')
         {
           a[id[i-][j]][id[i][j]]=;
           a[id[i][j]][id[i-][j]]=;
         }
       if (s[i][j-]=='.')
         {
           a[id[i][j-]][id[i][j]]=;
           a[id[i][j]][id[i][j-]]=;
         }
     }
     }
   for (i=;i<=S;i++)
     {
       for (j=;j<=S;j++)
     {
       if (i!=j&&a[i][j])
         a[i][i]++;
     }
       for (j=;j<=S;j++)
     if (i!=j) a[i][j]=-a[i][j];
     }
   printf("%d\n",guass());
 }