「BZOJ1038」「洛谷P2600」「ZJOI2008」瞭望塔 半平面交+贪心

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BZOJ/洛谷

题目描述

致力于建设全国示范和谐小村庄的H村村长dadzhi，决定在村中建立一个瞭望塔，以此加强村中的治安。

我们将H村抽象为一维的轮廓。如下图所示:

我们可以用一条山的上方轮廓折线\((x_1,y_1),(x_2,y_2)…(x_n,y_n)\)来描述H村的形状，这里\(x_1 < x_2 < …< x_n\)。瞭望塔可以建造在\([x_1,x_n]\)间的任意位置，但必须满足从瞭望塔的顶端可以看到H村的任意位置。可见在不同的位置建造瞭望塔，所需要建造的高度是不同的。为了节省开支，dadzhi村长希望建造的塔高度尽可能小。

请你写一个程序，帮助dadzhi村长计算塔的最小高度。

输入

第一行包含一个整数\(n\)，表示轮廓折线的节点数目。接下来第一行\(n\)个整数, 为\(x_1\sim x_n\). 第三行n个整数，为\(y_1\sim y_n\)。

输出

仅包含一个实数，为塔的最小高度，精确到小数点后三位。

样例

样例输入

6
1 2 4 5 6 7
1 2 2 4 2 1

样例输出

1.000

数据范围

对于\(60\%\)的数据，\(N\leq60\)。

对于\(100\%\)的数据，\(N\leq300\)，输入坐标绝对值不超过\(10^6\)，注意考虑实数误差带来的问题。

题解

半平面交好题（其实可以暴枚）。

首先，假设瞭望塔顶为点\(P\)，那么\(P\)必定在轮廓线上每条边往上的半平面的交集里面。

因此先做一遍半平面交，由于必定是无界的，我在左右和上侧各加了一个半平面（做完之后把不需要的边界去掉）。

这样我们就得到了一个下凸壳，如果瞭望塔建在\(x_0\)这个位置，那么必定是建到直线\(x=x_0\)与这个凸壳的交点的高度即可。然后考虑到高度是由上下共同决定的，经过显而易见的贪心，可以发现瞭望塔的横坐标要么是这个凸壳上的顶点，要么是下方轮廓线的端点，\(O(n)\)扫一遍即可。总复杂度\(O(n\log n)\)。

坑：答案可能很大，所以\(ans\)初始值得设得很大。

\(Code:\)

#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100005
#define eps 1e-8
int n, m, h, t, cnt;
bool More(double a, double b){return a > b + eps;}
bool Less(double a, double b){return a < b - eps;}
bool Emore(double a, double b){return a > b - eps;}
bool Eless(double a, double b){return a < b + eps;}
bool Equal(double a, double b){return fabs(a - b) < eps;}
struct Point
{
	double x, y;
	Point(){}
	Point(double a, double b){x = a, y = b;}
	Point operator + (Point b){return Point(x + b.x, y + b.y);}
	Point operator - (Point b){return Point(x - b.x, y - b.y);}
	Point operator * (double c){return Point(x * c, y * c);}
	Point operator / (double c){return Point(x / c, y / c);}
}A[N], B[N], p[N];
struct Line//直线、线段、射线s->t，向量为t-s
{
	Point s, t;
	Line(){};
	Line(Point a, Point b){s = a, t = b;}
}S[N], q[N];
double Cross(Point a, Point b){return a.x * b.y - a.y * b.x;}
double Length(Point a){return sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y);}
bool Onright(Line s, Point p){return More(Cross(p - s.s, s.t - s.s), 0);}
Point Intersect(Line a, Line b)
{
	double s1 = Cross(a.t - a.s, b.s - a.s);
	double s2 = Cross(b.t - a.t, a.t - a.s);
	return b.s + (b.t - b.s) / (s1 + s2) * s1;
}
double Angle(Point p){return atan2(p.y, p.x);}
int cmp(Line s1, Line s2)//象限角度数越低的越靠前(-180,180]
{
	Point a = s1.t - s1.s;
	Point b = s2.t - s2.s;
	if (!Equal(Angle(a), Angle(b)))return Angle(a) < Angle(b);
	return Onright(s1, s2.s);
}
int cmp2(Point p1, Point p2){return p1.x < p2.x;}
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lf", &A[i].x);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lf", &A[i].y);
	for (int i = 1; i < n; i++)
		S[++cnt] = Line(A[i], A[i + 1]);
	S[++cnt] = Line(Point(A[1].x, 1e+12), Point(A[1].x, A[1].y));
	S[++cnt] = Line(Point(A[n].x, 1e+12), Point(A[1].x, 1e+12));
	S[++cnt] = Line(Point(A[n].x, A[n].y), Point(A[n].x, 1e+12));
	sort(S + 1, S + cnt + 1, cmp);
	int w = 1;
	for (int i = 2; i <= cnt; i++)
		if (!Equal(Angle(S[i].t - S[i].s), Angle(S[i - 1].t - S[i - 1].s)))
			S[++w] = S[i];
	cnt = w;
	h = 1, t = 0;
	q[++t] = S[1];
	for (int i = 2; i <= cnt; i++)
	{
		while (h < t && Onright(S[i], p[t - 1]))t--;
		while (h < t && Onright(S[i], p[h]))h++;
		q[++t] = S[i];
		if (h < t)
			p[t - 1] = Intersect(q[t], q[t - 1]);
	}
	while (h < t && Onright(q[h], p[t - 1]))t--;
	if (h < t)p[t] = Intersect(q[t], q[h]);
	cnt = 0;
	for (int i = h; i <= t; i++)
		B[++cnt] = p[i];
	sort(B + 1, B + cnt + 1, cmp2);
	w = 1;
	for (int i = 2; i <= cnt; i++)
		if (Less(B[i].y, 1e+11))
			B[++w] = B[i];
	cnt = w;
	double ans = 1e+10;
	int w1 = 1, w2 = 2;
	A[0].x = A[1].x - 1;
	B[0].x = B[1].x - 1;
	while (w1 <= cnt || w2 <= n)
	{
		if (w2 > n || (w1 <= cnt && B[w1].x < A[w2].x))
		{
			Point s = A[w2 - 1] + (A[w2] - A[w2 - 1]) / (A[w2].x - A[w2 - 1].x) * (B[w1].x - A[w2 - 1].x);
			ans = min(ans, B[w1].y - s.y);
			w1++;
		}
		else
		{
			Point s = B[w1 - 1] + (B[w1] - B[w1 - 1]) / (B[w1].x - B[w1 - 1].x) * (A[w2].x - B[w1 - 1].x);
			ans = min(ans, s.y - A[w2].y);
			w2++;
		}
	}
	printf("%.3f\n", ans);
}