【二分】Defense Lines

[UVa1471] Defense Lines

算法入门经典第8章8-8 (P242)

题目大意：将一个序列删去一个连续子序列，问最长的严格上升子序列 (N<=200000)

试题分析：算法1：直接暴力，对于一个删除序列，枚举头和尾，然后看最长上升子序列。时间复杂度：O(N^3)

　　　　　算法2：L[i]表示以i为结尾的最长严格上升子序列长度，R[i]表示以i为开头的最长严格上升子序列长度。 预处理：O(N)

　　　　　　　　  然后依旧是枚举头和尾，那么答案就是L[i]+R[j]了。时间复杂度：O(N^2)

　　　　　算法3：第一个与第二个时间复杂度对于题目来说都非常之高，所以O(NlogN)是我们需要的。

　　　　　　　　  预处理是必须要的，这样能除以O(N)。

　　　　　　　　  下面要改进的就是这个枚举i,j的循环了，能不能确定j(i)，来唯一确定最优的i(j)呢？

　　　　　　　　  到这里，性质就比较显然了，我们需要用一个数据结构来维护它。

　　　　　　　　  那么具体用什么呢？这就是单调队列的典型问题了。

　　　　　　　　  可以发现，如果a[i']>=a[i] , 且L(i')>=L(i)，那么要i是没有用的，因为i'更优或者余地更大了。

　　　　　　　　  然后维护这样一个数组，每次二分仅次于A[i]的值相加就好了。

　　　　　　　　  可能有些抽象，具体请看代码。

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define LL long long

inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*f;
}
const int INF=2147483640;//注意a[i]<=1e9，要开大一点
const int MAXN=2000001;
int L[MAXN+1],R[MAXN+1];
int N; int T;
int a[MAXN+1]; int Que[MAXN+1];
int FLen; int ans;

int main(){
	T=read();
	while(T--){
		N=read();
		for(int i=1;i<=N;i++) a[i]=read();
		L[1]=1,R[N]=1;//预处理
		for(int i=2;i<=N;i++){
			L[i]=1;
			if(a[i]>a[i-1]) L[i]+=L[i-1];
		}
		for(int i=N-1;i>=1;i--){
			R[i]=1;
			if(a[i]<a[i+1]) R[i]+=R[i+1];
		}
		ans=0;
		for(int i=1;i<=N;i++) Que[i]=INF;
		for(int i=1;i<=N;i++){
			FLen=lower_bound(Que+1,Que+1+N,a[i])-Que;//二分第一个大于等于于a[i]的值
			ans=max(ans,FLen+R[i]-1);//计算长度，由于lower_bound是大于等于，所以要-1，让其变成第一个<a[i]
			Que[L[i]]=min(Que[L[i]],a[i]);//相同的最后如果越小，后面的潜力越大
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}