Sirni题解(最小生成树，埃氏筛)（继 Liang-梁）

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前言

题意

思路

一些建议

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前言

本篇是对Liang-梁的Sirni(最小生成树，埃氏筛)的后继博客。

通篇原文：https://blog.csdn.net/qq_37555704/article/details/97107653?tdsourcetag=s_pcqq_aiomsg

本文稍加修正，分析了一些错误。

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题意

给你 n 个点，每个点有一权值 Pi，两点i，j的边权为min(Pi%Pj,Pj%Pi)，求最小生成树。

数据范围：n<=1e5，Pi<=1e7

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思路

以下是原文：

首先30分我们可以通过枚举两两连边后用 Kruskal 做,复杂度 O(n2logn2) 

其实我们排序时还可以用类似桶排序的方法

用vector或者前向星存储边访问,但是还是会超时,却给我们正解提供思路,然后考虑正解,

我们记值域为 T=[1,1e7]

我们假设两个点 a,b 可以发现若 Pa≤Pb 那么取 min 时只可能取Pb%Pa

那我们如何决策呢

首先我们可以将所有Pb=kPa 的点缩成一个点,保存最小的 Pa ,因为他们相连的代价为0，我们可以用类似埃氏筛的方法处理

然后场上所有 Pa,Pb 都是不同的且不存在倍数关系我们发现,算法瓶颈在于边太多了,于是考虑减少边的数量(即可以判断一些不会选的边提前去除), 怎么做呢

假设有三个点 a,b,c 满足 Pa < Pb < Pc并且 Pb=k∗Pa+s,Pc=k∗Pa+t(0< s <Pa) 那 a,b 连边代价为 s ; a,c连边代价为 t ;b,c 连边代价 q 虽然不知道是多少但有一个范围即 ：0≤q≤t−s

给这三个点连边只有三种情况:

1.a−b−c

代价w1:s+q , s≤w1≤t

2.b−a−c

代价w2: s+t,w2=s+t

3.a−c−b

代价 w3:t+q,t≤w3≤2∗t−s

于是w<min(w2,w3)w1<min(w2,w3)，k一定时，对于a,ab连边是最优的, b-c这条边我们会在对于b考虑时决策我们记 f(i,k) 表示

那我们发现就只把 k 枚举一遍找到最小一个满足Px=k∗Pa+s(0<s<Pa)的Px,i,x 连边即可

那么问题转化为 将P 数组在值域为[1,1e7]中bool标记,后对于一个值 x 快速找到在它右侧第一个出现的值,那么从右至左简单的Dp扫一遍即可

后面用 30分的第2种做法即可分析一下,由于 Pi 互不相同，那么枚举Pi的倍数时我们的边上限为 Tloglogn类似埃氏筛的时间复杂度,于是桶排序访问时间复杂度为 O(n+T)

那么总的时间复杂度为 O(Tloglogn)

相信大家仔细想想就会发现，若是强制缩点，一些数据是过不了的。

若是有Pj是Pi倍数的话，相当于 i 和 j 有一条权值为零的边，这样的边无论多连几条都没有关系，所以不如就把所有这样的边都先连上，然后再判断权值非零的边。

强制缩点指在上述边都连上情况下，把所有连通的点（无向，所以只要有边就连通）都 蹂 揉成一个点，也就是说，被缩进去的点的权值都不存在了，原作者认为这不影响边的判断。

但是，随便来一组数据就过不了，比如

4
6 18 9 7

若是缩点，最后就缩成了6,9,7，算出来是 3。实际上依次连 9——18——6——7最小，答案是1。

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一些建议

要打这道题的人，给些建议：

1. 卡常之类的不要过火，走错方向了。
2. 用Kruskal做时，不要用优先队列，不要用vector，用数组+sort就行。
3. 算DP时，最右边最大的DP值为inf。

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