Introduction to Mathematical Thinking - Week 3

there exists and all

there exists

证明根号2是无理数

all

习题

3. Which of the following formal propositions says that there is no largest prime. (There may be more than one. You have to select all correct propositions.) The variables denote natural numbers. [6 points]

¬∃x∃y[Prime(x)∧¬Prime(y)∧(x<y)]

∀x∃y[Prime(x)∧Prime(y)∧(x<y)]

∀x∀y[Prime(x)∧Prime(y)∧(x<y)]

∀x∃y[Prime(y)∧(x<y)]

∃x∀y[Prime(y)∧(x<y)]

∀x∃y[Prime(x)∧(x<y)]

解析：

∀x∃y[Prime(x)∧Prime(y)∧(x<y)]

对于任意的x，存在y，使得x是素数，y是素数并且 x 小于 y。我认为这个可以表示出不存在最大素数的意思。所以是正确的。

驳斥上面的：对于任意x，x是素数，这个是错误的。如果改成存在，就是对的，但不能表现出题中的意思。

答案是 ∀x∃y[Prime(y)∧(x<y)]。

对于任意x，存在素数y，使得 x < y。即，存在比x更大的素数。

如果要改成“任意素数x，存在素数y，使得 x < y。即，存在比x更大的素数。”，该怎么改？

(∀x属于Prime)(∃y)[Prime(x)∧Prime(y)∧(x<y)]

4.

The symbol ∃!x means "There exists a unique x such that ...'' Which of the following accurately defines the expression ∃!xϕ(x)? [5 points]

∃x∀y[ϕ(x)∧[ϕ(y)⇒(x≠y)]]

∃x[ϕ(x)∧(∃y)[ϕ(y)⇒(x≠y)]]

∃x∃y[(ϕ(x)∧ϕ(y))⇒(x=y)]

[∃xϕ(x)]∧(∀y)[ϕ(y)⇒(x=y)]

∃x[ϕ(x)∧(∀y)[ϕ(y)⇒(x=y)]]

解析：

题目  ∃!xϕ(x) 的意思

只存在一个数，能使 ϕ(x) 为 True

[∃xϕ(x)]∧(∀y)[ϕ(y)⇒(x=y)]

存在一个数x使得 ϕ(x) 为 True，并且对于任意y，如果ϕ(y)，那么 x=y，x未定义

∃x[ϕ(x)∧(∀y)[ϕ(y)⇒(x=y)]]

存在一个数x使得ϕ(x)成立，并且这个数x，对于任意y，如果ϕ(y)，那么 x=y。

这里与上面的不同是：(∀y)[ϕ(y)⇒(x=y) 与 x 存在有关。答案是有关，因为 x = y，而上面的后方，y 是没有定义的。所以大难是这个。

5. Which of the following means "The arithmetic operation x↑y is not commutative." (↑ is just some arbitrary binary operation.) [3 points]

∀x∀y[x↑y≠y↑x]

∀x∃y[x↑y≠y↑x]

∃x∃y[x↑y≠y↑x]

∃x∀y[x↑y≠y↑x]

解析:

Commutative: ∀x∀y[x↑y=y↑x]

Not commutative: ∃x∃y[x↑y≠y↑x]

not ∀ = ∃?

解析：