POJ 3233 Matrix Power Series 【经典矩阵快速幂＋二分】

任意门：http://poj.org/problem?id=3233

Matrix Power Series

Time Limit: 3000MS		Memory Limit: 131072K
Total Submissions: 28619		Accepted: 11646

Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A² + A³ + … + A^k.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 10⁹) and m (m < 10⁴). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 4
0 1
1 1

Sample Output

1 2
2 3

Source

POJ Monthly--2007.06.03, Huang, Jinsong

题意概括：

给一个 N 维方阵 A ，求 A+A^2+A^3+ ... +A^k ，结果模 m；

解题思路：

矩阵快速幂解决矩阵幂运算（本质是二分优化）；

求前缀和二分：

比如，当k=6时，有：
    A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 =(A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3)
    应用这个式子后，规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A + A^2 + A^3，即可得到原问题的答案。

AC code：

 #include <cstdio>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #define LL long long
 using namespace std;
 const int MAXN = ;
 int N, Mod;

 struct mat
 {
     int m[MAXN][MAXN];
 }base;

 mat mult(mat a, mat b)
 {
     mat res;
     memset(res.m, , sizeof(res));
     for(int i = ; i < N; i++)
     for(int j = ; j < N; j++){
         if(a.m[i][j])
             for(int k = ; k < N; k++)
                 res.m[i][k] = (res.m[i][k] + a.m[i][j] * b.m[j][k])%Mod;
     }
     return res;
 }

 mat add(mat a, mat b)
 {
     mat res;
     for(int i = ; i < N; i++)
     for(int j = ; j < N; j++)
         res.m[i][j] = (a.m[i][j] + b.m[i][j])%Mod;
     return res;
 }

 mat qpow(mat a, int k)
 {
     mat ans;
     memset(ans.m, , sizeof(ans.m));
     for(int i = ; i < N; i++) ans.m[i][i] = ;

     while(k){
         if(k&) ans = mult(ans, a);
         k>>=;
         a=mult(a, a);
     }
     return ans;
 }

 mat solve(int K)
 {
     if(K == ) return base;
     mat res;
     memset(res.m, , sizeof(res.m));
     for(int i = ; i < N; i++) res.m[i][i] = ;

     res = add(res, qpow(base, K>>));
     res = mult(res, solve(K>>));
     if(K&) res = add(res, qpow(base, K));

     return res;
 }

 int main()
 {
     int K;
     mat ans;
     scanf("%d %d %d", &N, &K, &Mod);
     for(int i = ; i < N; i++)
     for(int j = ; j < N; j++){
         scanf("%d", &base.m[i][j]);
     }
     ans = solve(K);
     for(int i = ; i < N; i++){
     for(int j = ; j < N-; j++)
             printf("%d ", ans.m[i][j]);
         printf("%d\n", ans.m[i][N-]);
     }
     return ;
 }