【Usaco 2009 Gold】JZOJ2020年9月19日提高B组T4 过路费

题目

Description

跟所有人一样，农夫约翰以着宁教我负天下牛，休叫天下牛负我的伟大精神，日日夜夜苦思生财之道。为了发财，他设置了一系列的规章制度，使得任何一只奶牛在农场中的道路行走，都要向农夫约翰上交过路费。

农场中由N（1 <= N <= 250）片草地（标号为1到N），并且有M（1 <= M <= 10000）条双向道路连接草地A_j和B_j（1 <= A_j <= N; 1 <= B_j <= N）。奶牛们从任意一片草地出发可以抵达任意一片的草地。FJ已经在连接A_j和B_j的双向道路上设置一个过路费L_j（1 <= L_j <= 100,000）。

可能有多条道路连接相同的两片草地，但是不存在一条道路连接一片草地和这片草地本身。最值得庆幸的是，奶牛从任意一篇草地出发，经过一系列的路径，总是可以抵达其它的任意一片草地。

除了贪得无厌，叫兽都不知道该说什么好。FJ竟然在每片草地上面也设置了一个过路费C_i（1 <= C_i <= 100000）。从一片草地到另外一片草地的费用，是经过的所有道路的过路费之和，加上经过的所有的草地（包括起点和终点）的过路费的最大值。

任劳任怨的牛们希望去调查一下她们应该选择那一条路径。她们要你写一个程序，接受K（1<= K <= 10,000）个问题并且输出每个询问对应的最小花费。第i个问题包含两个数字s_i和t_i（1 <= s_i <= N; 1 <= t_i <= N; s_i != t_i），表示起点和终点的草地。

考虑下面这个包含5片草地的样例图像:

　从草地1到草地3的道路的“边过路费”为3，草地2的“点过路费”为5。

要从草地1走到草地4，可以从草地1走到草地3再走到草地5最后抵达草地4。如果这么走的话，需要的“边过路费”为2+1+1=4，需要的点过路费为4（草地5的点过路费最大），所以总的花费为4+4=8。

而从草地2到草地3的最佳路径是从草地2出发，抵达草地5，最后到达草地3。这么走的话，边过路费为3+1=4，点过路费为5，总花费为4+5=9。

Input

第1行: 三个空格隔开的整数: N, M和K

第2到第N+1行: 第i+1行包含一个单独的整数: C_i

第N+2到第N+M+1行: 第j+N+1行包含3个由空格隔开的整数: A_j, B_j和L_j

第N+M+2倒第N+M+K+1行: 第i+N+M+1行表示第i个问题，包含两个由空格隔开的整数s_i和t_i

Output

第1到第K行: 第i行包含一个单独的整数，表示从s_i到t_i的最小花费。

Sample Input

5 7 2

2

5

3

3

4

1 2 3

1 3 2

2 5 3

5 3 1

5 4 1

2 4 3

3 4 4

1 4

2 3

Sample Output

8

9

题解

题意

给出一个无向图

边有边权，点有点权

定义最短路径为所有经过的边的边权+所有经过的点里的最大点权（包括起点和终点）

询问两个点之间的最短路径

多组询问

分析

看到$n$只有250

想到了老古董：$floyd$

$floyd$的核心就是通过中间点转移

那么可以引用到这题来

定义$c[i][j]$为只计算边权的最短路径，$f[i][j]$为计算点权的最短路径

那么根据贪心思想，肯定点权越小越优

那么在枚举中间点时，可以枚举已经排了序的点

然后比较两端和中间点的点权大小，转移$f[i][j]$

至于$c[i][j]$就不用我多说了吧

比赛总结

最短路的题用最短路算法就好了

而且要注意数据，思考合适的解法

然后在扩展延伸应用到题目上

Code

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

struct for_sort

{

	int val,num;

}b[255];

int n,m,q,x,y,z,a[255],c[255][255],f[255][255];

int read()

{

	int res=0;char ch=getchar();

	while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();

	while (ch>='0'&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch-'0'),ch=getchar();

	return res;

}

bool cmp(for_sort x,for_sort y)

{

	return x.val<y.val;

}

int main()

{

	freopen("toll.in","r",stdin);

	freopen("toll.out","w",stdout);

	n=read();m=read();q=read();

	for (int i=1;i<=n;++i)

		a[i]=read(),b[i].val=a[i],b[i].num=i;

	sort(b+1,b+n+1,cmp);

	for (int i=1;i<=n;++i)

		for (int j=1;j<=n;++j)

		{

			if (i!=j) f[i][j]=c[i][j]=123456789;

			else f[i][j]=a[i];

		}

	for (int i=1;i<=m;++i)

	{

		x=read();y=read();z=read();

		c[y][x]=c[x][y]=min(c[x][y],z);

	}

	for (int ii=1;ii<=n;++ii)

	{

		int k=b[ii].num;

		for (int i=1;i<=n;++i)

			for (int j=1;j<=n;++j)

				if (i!=j&&i!=k&&j!=k)

				{

					c[i][j]=min(c[i][j],c[i][k]+c[k][j]);

					f[i][j]=min(f[i][j],c[i][j]+max(a[k],max(a[i],a[j])));

				}

	}

	for (int i=1;i<=q;++i)

	{

		x=read();y=read();

		printf("%d\n",f[x][y]);

	}

	fclose(stdin);

	fclose(stdout);

	return 0;

}