BZOJ 1152 歌唱王国
题目传送门
分析:
这道题很神仙,我们给出低配版解法和高配版解法2333
低配版:
首先知道这样一个公式。。。(证明去高配版)
当一个字符串S其中S [ 1 , i ] = S [ n - i + 1 , n ]时,则称S [ 1 , i ]为S的一个border
Ans[n]=sigma( S [ 1, i ]为S的border) m ^ i
嗯。。。
有了这个之后,我们就可以kmp或者hash求解了
但是,hash只能处理取到S的答案,而kmp可以做到处理出所有S前缀的答案
这里就用kmp(相信hash很简单(大雾))
那么我们设 f [ i ] 为递推到第 i 位的答案
我们先处理出fail数组
那么S[ 1 , i ]的border的集合就是S[ 1 , i ]本身加上S[ 1 , fail [ i ] ]的border集合
所以得出递推式
f [ i ] = f [ fail [ i ] ] + m ^ i
算到 n 就是答案了
高配版:
首先我们要知道生成函数的表达式:
F(i) = sigma( i = 0...+∞) Ai * x ^ i
我们从生成函数定义概率生成函数,其中代价为 i 的事件发生的概率为 Ai:
那么我们可以知道:
F(1) = 1
相当于x取1时,F(1)代表的是所有情况的概率和,其值为1是显然正确的,就是事件本身
然后我们考虑期望代价E(x)
E(x) = sigma( i = 0...+∞)Ai * i
因为当 i 为0时不做贡献,所以 i 可以从1开始
接下来有一个有趣的事情,我们把F(x)求导
F'(x)=sigma( i =1...+∞)Ai * i * x ^ ( i - 1 )
我们再取F'(1) = sigma( i = 1...+∞)Ai * i
与E(x)做一下比较,我们惊奇地发现:
E(x) = F'(1)
这是巧合吗?还是冥冥之中的必然?
这也说明了,概率和期望是有必然的联系的
于是我们进入正题
设函数F(x)表示结束时长度为 i 的概率,G(x)表示长度到了 i 还没有结束的概率
那么我们得到这个等式:
F(x) + G(x) = 1 + G(x) * x
分为每一位考虑,其实就是整个递推的过程,你在i - 1位没有结束的概率,就是你在 i 位结束和在 i 位没结束的概率和
这个式子记为1式
然后我们考虑求解。。。
我们往G(x)上强行加 (1/m x)^n 这个串一定会结束,然而这个串可能提前结束,因为之前的串里可能有S的border
我们枚举border的长度
首先定义ai=0或1 代表S[ 1 , i ]是否为S的border
于是可以得到这个式子。。。
G(x) * ( 1/m * x) ^ n = sigma(i=1...n) ai * F(x) * (1/m * x) ^ ( n - i )
不好说这个式子,但感(hu)性(luan)分析一下挺正确的2333
这只Darknesses笨笨的,讲不清楚
把这个式子记为2式
然后我们大♂力推式子
首先对1式求导
F'(x) + G'(x) = G(x) + G'(x) * x
要求F'(1)诶。。。
直接取吧2333
然后惊奇地发现
F'(1)=G(1)
第二个再取1试试
G(1) * (1/m) ^ n = sigma(i=1...n) ai * F(1) * (1/m) ^ ( n - i )
因为F(1)=1,我们再把(1/m) ^ n除过去
G(1)=sigma(i=1...n) ai * m ^ i
所以Ans[n]=E(x)=F'(1)=G(1)=sigma( S[ 1 , i ]为S的border ) m^i
得证了。。。
呵呵呵。。。
生成函数真神仙。。。
数学太菜了2333
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#include<iostream> #define maxn 1000005
#define MOD 1000000007 using namespace std; inline int getint()
{
int num=,flag=;char c;
while((c=getchar())<''||c>'')if(c=='-')flag=-;
while(c>=''&&c<='')num=num*+c-,c=getchar();
return num*flag;
} int n,m;
long long a[maxn],pw[maxn];
long long ans;
long long fail[maxn],f[maxn]; int main()
{
m=getint(),n=getint(),f[]=;
for(int i=;i<=n;i++)a[i]=getint(),f[i]=f[i-]*m%MOD;
fail[]=-;
for(int i=;i<=n;i++)
{
for(int j=fail[i-];j>=;j=fail[j])
if(a[i]==a[j+]){fail[i]=j+,(f[i]+=f[j+])%=MOD;break;}
}
for(int i=;i<=n;i++)printf("%lld\n",f[i]);
}
代码不能直接AC哦,它输出的式S所有前缀的答案2333
代码短,证明还真长呢2333
BZOJ 1152 歌唱王国的更多相关文章
- 【BZOJ1152】歌唱王国(生成函数,KMP)
[BZOJ1152]歌唱王国(生成函数,KMP) 题面 BZOJ 洛谷 题解 根据\(YMD\)论文来的QwQ. 首先大家都知道普通型生成函数是\(\displaystyle \sum_{i=0}^{ ...
- [CTSC2006]歌唱王国
[CTSC2006]歌唱王国 Tags:题解 题意 链接:在空串后不断随机添加字符,直到出现串\(S_i\)为止.求最终串的期望长度.\(\sum |S_i|\le 5*10^6\) 题解 以下内容来 ...
- bzoj 2850 巧克力王国
bzoj 2850 巧克力王国 钱限题.题面可以看这里. 显然 \(x\) \(y\) 可以看成坐标平面上的两维,蛋糕可以在坐标平面上表示为 \((x,y)\) ,权值为 \(h\) .用 \(kd- ...
- bzoi1152 [CTSC2006]歌唱王国Singleland
[CTSC2006]歌唱王国Singleland Time Limit: 30 Sec Memory Limit: 162 MB Description 在歌唱王国,所有人的名字都是一个非空的仅包含整 ...
- 【题解】歌唱王国(概率生成函数+KMP)+伦讲的求方差
[题解]歌唱王国(概率生成函数+KMP)+伦讲的求方差 生成函数的本质是什么呀!为什么和It-st一样神 设\(f_i\)表示填了\(i\)个时候停下来的概率,\(g_i\)是填了\(i\)个的时候不 ...
- 【BZOJ】1152: [CTSC2006]歌唱王国Singleland
题解 读错题了,是最后留下一个牛人首长歌颂他,和其他人没有关系,t就相当于数据组数 结论题,具体可看 https://www.zhihu.com/question/59895916/answer/19 ...
- BZOJ 2850: 巧克力王国 KDtree + 估价函数
Code: #include<bits/stdc++.h> #define maxn 100000 #define inf 1000000008 #define mid ((l+r)> ...
- 解题:CTSC 2006 歌唱王国
题面 概率生成函数 对于菜鸡博主来说好难啊 其一般形式为$F(x)=\sum\limits_{i=0}^∞[x==i]x_i$,第i项的系数表示离散变量x取值为i的概率 一般的两个性质:$F(1)=1 ...
- 洛谷P4548 [CTSC2006]歌唱王国(概率生成函数)
题面 传送门 给定一个长度为\(L\)的序列\(A\).然后每次掷一个标有\(1\)到\(m\)的公平骰子并将其上的数字加入到初始为空的序列\(B\)的末尾,如果序列B中已经出现了给定序列\(A\), ...
随机推荐
- 2018-2-13-wpf-GifBitmapDecoder-解析-gif-格式
title author date CreateTime categories wpf GifBitmapDecoder 解析 gif 格式 lindexi 2018-2-13 17:23:3 +08 ...
- WPF 分页控件Pager
本文为伪原创原文为 NET未来之路的https://www.cnblogs.com/lonelyxmas/p/10641255.html 原文中,页码数量会不断增加,会将下一页的按钮顶出去 修改了一下 ...
- mysql find_in_set 与 in 的用法与区别,mysql范围搜索,mysql范围查询
mysql find_in_set 与 in 的用法与区别 1.find_in_set 用于模糊查询,并且数据库中的值是用英文逗号分隔的: 例如: (1).去字段中查询 select find_in_ ...
- HashMap、Hashtable、LinkedHashMap、TreeMap、ConcurrentHashMap的区别
Map是Java最常用的集合类之一.它有很多实现类,我总结了几种常用的Map实现类,如下图所示.本篇文章重点总结几个Map实现类的特点和区别: 特点总结: 实现类 HashMap LinkedHash ...
- appium启动app(android)
android Appium 启动APP至少需要5个参数 'platformVersion','deviceName'.'appPackage'.'appActivity'.'platform ...
- 20191107-8 beta week 2/2 Scrum立会报告+燃尽图 07
此作业要求参见 http://edu.cnblogs.com/campus/nenu/2019fall/homework/9960 小组名称:“组长”组 组长:杨天宇 组员:魏新,罗杨美慧,王歆瑶,梅 ...
- Alpha阶段中间产物提交入口
此作业要求参见:https://edu.cnblogs.com/campus/nenu/2019fall/homework/9865 git地址:https://e.coding.net/Eustia ...
- 多线程事儿(task)之 一(转载)
此文转载作为记录,转载地址https://www.cnblogs.com/xiaoXuZhi/p/XYH_tsak_one.html 多线程,一个多么熟悉的词汇,作为一名程序员,我相信无论是从事什么开 ...
- 洛谷P1037 产生数 题解 搜索
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P1037 题目描述 给出一个整数 \(n(n<10^{30})\) 和 \(k\) 个变换规则 \((k \le 1 ...
- JUC 中的 Atomic 原子类总结
1 Atomic 原子类介绍 Atomic 翻译成中文是原子的意思.在化学上,我们知道原子是构成一般物质的最小单位,在化学反应中是不可分割的.在我们这里 Atomic 是指一个操作是不可中断的.即使是 ...