BZOJ 1152 歌唱王国

题目传送门

分析：

这道题很神仙，我们给出低配版解法和高配版解法2333

低配版：

首先知道这样一个公式。。。（证明去高配版）

当一个字符串S其中S [ 1 , i ] = S [ n - i + 1 , n ]时，则称S [ 1 , i ]为S的一个border

Ans[n]=sigma( S [ 1, i ]为S的border) m ^ i

嗯。。。

有了这个之后，我们就可以kmp或者hash求解了

但是，hash只能处理取到S的答案，而kmp可以做到处理出所有S前缀的答案

这里就用kmp（相信hash很简单（大雾））

那么我们设 f [ i ] 为递推到第 i 位的答案

我们先处理出fail数组

那么S[ 1 , i ]的border的集合就是S[ 1 , i ]本身加上S[ 1 , fail [ i ] ]的border集合

所以得出递推式

f [ i ] = f [ fail [ i ] ] + m ^ i

算到 n 就是答案了

高配版：

首先我们要知道生成函数的表达式：

F(i) = sigma( i = 0...+∞) Ai * x ^ i

我们从生成函数定义概率生成函数，其中代价为 i 的事件发生的概率为 Ai：

那么我们可以知道：

F(1) = 1

相当于x取1时，F(1)代表的是所有情况的概率和，其值为1是显然正确的，就是事件本身

然后我们考虑期望代价E(x)

E(x) = sigma( i = 0...+∞)Ai * i

因为当 i 为0时不做贡献，所以 i 可以从1开始

接下来有一个有趣的事情，我们把F(x)求导

F'(x)=sigma( i =1...+∞)Ai * i * x ^ ( i - 1 )

我们再取F'(1) = sigma( i = 1...+∞)Ai * i

与E(x)做一下比较，我们惊奇地发现：

E(x) = F'(1)

这是巧合吗？还是冥冥之中的必然？

这也说明了，概率和期望是有必然的联系的

于是我们进入正题

设函数F(x)表示结束时长度为 i 的概率，G(x)表示长度到了 i 还没有结束的概率

那么我们得到这个等式：

F(x) + G(x) = 1 + G(x) * x

分为每一位考虑，其实就是整个递推的过程，你在i - 1位没有结束的概率，就是你在 i 位结束和在 i 位没结束的概率和

这个式子记为1式

然后我们考虑求解。。。

我们往G(x)上强行加 (1/m x)^n 这个串一定会结束，然而这个串可能提前结束，因为之前的串里可能有S的border

我们枚举border的长度

首先定义ai=0或1 代表S[ 1 , i ]是否为S的border

于是可以得到这个式子。。。

G(x) * ( 1/m * x) ^ n = sigma(i=1...n) ai * F(x) * (1/m * x) ^ ( n - i )

不好说这个式子，但感（hu）性（luan）分析一下挺正确的2333

这只Darknesses笨笨的，讲不清楚

把这个式子记为2式

然后我们大♂力推式子

首先对1式求导

F'(x) + G'(x) = G(x) + G'(x) * x

要求F'(1)诶。。。

直接取吧2333

然后惊奇地发现

F'(1)=G(1)

第二个再取1试试

G(1) * (1/m) ^ n = sigma(i=1...n) ai * F(1) * (1/m) ^ ( n - i )

因为F(1)=1，我们再把(1/m) ^ n除过去

G(1)=sigma(i=1...n) ai * m ^ i

所以Ans[n]=E(x)=F'(1)=G(1)=sigma( S[ 1 , i ]为S的border ) m^i

得证了。。。

呵呵呵。。。

生成函数真神仙。。。

数学太菜了2333

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#include<iostream>

#define maxn 1000005
#define MOD 1000000007

using namespace std;

inline int getint()
{
    int num=,flag=;char c;
    while((c=getchar())<''||c>'')if(c=='-')flag=-;
    while(c>=''&&c<='')num=num*+c-,c=getchar();
    return num*flag;
}

int n,m;
long long a[maxn],pw[maxn];
long long ans;
long long fail[maxn],f[maxn];

int main()
{
    m=getint(),n=getint(),f[]=;
    for(int i=;i<=n;i++)a[i]=getint(),f[i]=f[i-]*m%MOD;
    fail[]=-;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        for(int j=fail[i-];j>=;j=fail[j])
            if(a[i]==a[j+]){fail[i]=j+,(f[i]+=f[j+])%=MOD;break;}
    }
    for(int i=;i<=n;i++)printf("%lld\n",f[i]);
}

代码不能直接AC哦，它输出的式S所有前缀的答案2333

代码短，证明还真长呢2333