[矩阵十题第七题]vijos 1067 Warcraft III 守望者的烦恼 -矩阵快速幂

背景

守望者-warden，长期在暗夜精灵的的首都艾萨琳内担任视察监狱的任务，监狱是成长条行的，守望者warden拥有一个技能名叫“闪烁”，这个技能可以把她传送到后面的监狱内查看，她比较懒，一般不查看完所有的监狱，只是从入口进入，然后再从出口出来就算完成任务了。

描述

头脑并不发达的warden最近在思考一个问题，她的闪烁技能是可以升级的，k级的闪烁技能最多可以向前移动k个监狱，一共有n个监狱要视察，她从入口进去，一路上有n个监狱，而且不会往回走，当然她并不用每个监狱都视察，但是她最后一定要到第n个监狱里去，因为监狱的出口在那里，但是她并不一定要到第1个监狱。

守望者warden现在想知道，她在拥有k级闪烁技能时视察n个监狱一共有多少种方案？

格式

输入格式

第一行是闪烁技能的等级k(1<=k<=10)
第二行是监狱的个数n(1<=n<=2^31-1)

输出格式

由于方案个数会很多，所以输出它 mod 7777777后的结果就行了

样例1

样例输入1

2
4

样例输出1

5

限制

各个测试点1s

提示

把监狱编号1 2 3 4,闪烁技能为2级，
一共有5种方案
→1→2→3→4
→2→3→4
→2→4
→1→3→4
→1→2→4

小提示：建议用int64，否则可能会溢出

来源

杜杜我爱你个人原创

---

　　最朴实的dp方程

　　根据加法原理，把所有可以到达n号监狱的出发点(n-i)的值累加起来。

　　再看数据范围，O(nk)果断超时，不解释(除非用超算评测或许还可以AC)

　　总觉得和线性递推长得差不多，于是考虑用矩阵快速幂来优化。首先表示出最初的状态

　　其中f[0] = 1。接着按照套路来进行矩阵乘法得到下一项

　　因此我们有

　　又因为矩阵乘法满足结合律，所以就对那么看起来由0和1构成的矩阵进行快速幂就好了。

Code

 /**
  * vijos
  * Problem#1067
  * Accepted
  * Time:46ms
  * Memory:1016k
  */
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cctype>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<fstream>
 #include<sstream>
 #include<algorithm>
 #include<map>
 #include<set>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #include<stack>
 using namespace std;
 typedef bool boolean;
 #define INF 0xfffffff
 #define smin(a, b) a = min(a, b)
 #define smax(a, b) a = max(a, b)
 template<typename T>
 inline void readInteger(T& u){
     char x;
     int aFlag = ;
     while(!isdigit((x = getchar())) && x != '-');
     if(x == '-'){
         x = getchar();
         aFlag = -;
     }
     for(u = x - ''; isdigit((x = getchar())); u = (u << ) + (u << ) + x - '');
     ungetc(x, stdin);
     u *= aFlag;
 }

 #define moder 7777777

 typedef class Matrix {
     public:
         int* p;
         int lines, cols;
         Matrix():p(NULL), lines(), cols()    {    }
         Matrix(int lines, int cols):lines(lines), cols(cols) {
             p = new int[(lines * cols)];
         }

         int* operator [](int pos) {
             return p + pos * cols;
         } 

         Matrix operator *(Matrix b) {
             if(cols != b.lines)    return Matrix();
             Matrix res = Matrix(lines, b.cols);
             for(int i = ; i < lines; i++) {
                 for(int j = ; j < b.cols; j++) {
                     res[i][j] = ;
                     for(int k = ; k < cols; k++) {
                         (res[i][j] += ((*this)[i][k] * 1LL * b[k][j]) % moder) %= moder;
                     }
                 }
             }
             return res;
         }
 }Matrix;

 template<typename T>
 T pow(T a, int pos) {
     if(pos == )    return a;
     T temp = pow(a, pos / );
     if(pos & )    return temp * temp * a;
     return temp * temp;
 }

 int k, n;
 Matrix unit;
 Matrix org;

 inline void init() {
     readInteger(k);
     readInteger(n);
 }

 inline void solve() {
     org = Matrix(k, );
     org[k - ][] = ;
     for(int i = k - ; i >= ; i--) {
         org[][i] = ;
         for(int j = i; j < k; j++)
             org[][i] += org[][j];
     }
     if(n < k) {
         printf("%d", org[][n]);
         return;
     }
     unit = Matrix(k, k);
     for(int i = ; i < k; i++)
         unit[][i] = ;
     for(int i = ; i < k; i++)
         for(int j = ; j < k; j++)
             unit[i][j] = (i == j + ) ? () : ();
     Matrix res = pow(unit, n - k + ) * org;
     printf("%d", res[][]);
 }

 int main() {
     init();
     solve();
     return ;
 }