详解SLAM中的李群和李代数（上）

1 概述

最近阅读高翔大神的《视觉SLAM十四讲》这本书，感觉整本书写的非常的平实，用非常接地气的语言毫无保留的介绍了视觉SLAM的相关知识，非常值得一读。不过，在第4章出现的李群和李代数的相关概念就有点令人难以费解了。其实这段不是这本书的作者故意写的晦涩难懂，而是这部分知识属于数学或者物理专业才会学习的知识，普通的理工科专业的读者没有接触过这方面的知识。笔者也是在这个地方卡了壳，因此在本文中将李群和李代数相关的知识总结一下。

2 群

在数学中，群是一个基础但非常重要的代数结构，它由一个集合和一种满足特定条件的二元运算组成。具体来说，如果一个集合 \(G\) 和其上的一个二元运算 \(\cdot\) 满足以下四个公理，则称 \((G, \cdot)\) 为一个群：

1. 封闭性（Closure）：对于 \(G\) 中任意两个元素 \(a\) 和 \(b\)，它们通过运算 \(\cdot\) 得到的结果也是 \(G\) 的一个元素。即，如果 \(a, b \in G\)，那么 \(a \cdot b \in G\)。
2. 结合律（Associativity）：对于 \(G\) 中任意三个元素 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)，它们之间的运算满足结合律。即，\((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)。
3. 单位元（Identity element）：存在一个 \(G\) 中的特殊元素 \(e\)（称为单位元），使得对于 \(G\) 中的任何元素 \(a\) 都有 \(e \cdot a = a \cdot e = a\)。
4. 逆元（Inverse element）：对于 \(G\) 中的每一个元素 \(a\)，都存在一个 \(G\) 中的元素 \(b\)（记作 \(a^{-1}\)，称为 \(a\) 的逆元），使得 \(a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e\)，这里 \(e\) 是上述的单位元。

概念说出来都是很抽象的，那么接下来直接举两个具体的例子。

2.1 整数集与加法运算

如果集合\(G = \mathbb{Z}= \{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\ \}\)，运算\(\cdot = +\)，那么整数集与加法运算\((Z,+)\)就是一个群，因为其符合群的四个公理：

1. 封闭性：
   
   对于任意两个整数 $ a, b \in \mathbb{Z} \(，\) a + b $ 仍然是一个整数。例如，$ 3 + (-5) = -2 $，结果仍然在 $ \mathbb{Z} $ 中。
   
   因此，封闭性成立。

2. 结合律：
   
   加法是结合的，即对于任意 $ a, b, c \in \mathbb{Z} $，有

   \[(a + b) + c = a + (b + c)
   \]

   因此，结合律成立。

3. 单位元：
   
   单位元是 $ e = 0 $，因为对于任意 $ a \in \mathbb{Z} $，有

   \[a + 0 = 0 + a = a
   \]

   因此，单位元存在。

4. 逆元：
   
   对于任意 $ a \in \mathbb{Z} $，它的逆元是 $ -a $，因为

   \[a + (-a) = (-a) + a = 0
   \]

   因此，每个元素都有逆元。

2.2 非零实数集与乘法运算

如果集合\(G = \mathbb{R}^* = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0 \}\)，运算\(\cdot = \times\)，那么非零实数集与乘法运算\((\mathbb{R}^*,\times)\)就是一个群，因为其符合群的四个公理：

1. 封闭性：
   
   对于任意两个非零实数 $ a, b \in \mathbb{R}^* \(，\) a \times b $ 仍然是一个非零实数。例如，$ 3 \times (-2) = -6 $，结果仍然在 $ \mathbb{R}^* $ 中。
   
   因此，封闭性成立。

2. 结合律：
   
   乘法是结合的，即对于任意 $ a, b, c \in \mathbb{R}^* $，有

   \[(a \times b) \times c = a \times (b \times c)
   \]

   因此，结合律成立。

3. 单位元：
   
   单位元是 $ e = 1 $，因为对于任意 $ a \in \mathbb{R}^* $，有

   \[a \times 1 = 1 \times a = a
   \]

   因此，单位元存在。

4. 逆元：
   
   对于任意 $ a \in \mathbb{R}^* $，它的逆元是 $ \frac{1}{a} $，因为

   \[a \times \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \times a = 1
   \]

   因此，每个元素都有逆元。

这样来看的话，群的概念还是很好理解的。数学上的语言都是很抽象很概括的，我们不妨结合具体的例子来理解。那么，为什么会有群这个概念呢，因为数学家发现这种二元运算的集合有非常规律良好的性质，因此将其归纳总结了出来。

3 李群

李群是具有光滑性质的群。群的定义我们刚才论述过，那么这个“光滑”指的是一个怎么样的概念呢？要说清楚这个概念，可能需要更加专业的数学知识（比如《微分几何》），但是我们可以用简单一点的概念进行类比，那就是高数中的可导。

回忆一下高数中关于可导的定义：设 \(f: D \to \mathbb{R}\) 是一个实值函数，定义在某个区间 \(D\) 上，并且 \(x_0 \in D\) 是该区间中的一个内点。如果极限

\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}
\]

存在，则称函数 \(f\) 在点 \(x_0\) 处是可导的，这个极限称为 \(f\) 在 \(x_0\) 处的导数，记作 \(f'(x_0)\) 或 \(\frac{df}{dx}(x_0)\)。

直观地说，这个极限衡量了当输入 \(x\) 发生微小变化时，输出 \(f(x)\) 的变化率。如果一个函数在某区间内处处可导，那么这个函数在该区间内不仅连续，而且是“光滑”的，没有尖点或间断。这是一个非常优良的性质，它意味着这个函数的每个点都可以用切线方程来近似，从而使得复杂的问题可以通过简单的线性问题来解决，极大地简化了计算。

李群的光滑性质就类似于高数中的可导性。光滑意味着群运算是可以进行微分的，李群上的任何点都可以研究其局部变化率（即导数），并通过这些导数来分析群的性质。函数的导数就是导函数，而李群在单位元附近的局部性质的描述就是李代数，它通过切空间捕捉了李群的局部线性化信息。

SLAM中两个重要的李群是特殊正交群 \(SO(n)\) 和 特殊欧式群 \(SE(n)\)，特殊正交群是旋转变换的集合和运算，特殊欧式群是欧式变换/刚性变换的集合和运算。旋转变换和欧式变换是SLAM中的两个重要的几何变换，要理解这两个概念，需要重点看《视觉SLAM十四讲》第3讲三维空间刚体运动的知识；或者对计算机图形学、计算机视觉中几何变换的知识有所了解。

3.1 特殊正交群 \(SO(3)\)

如果集合\(G\)是所有的三维旋转矩阵，运算\(\cdot\)是矩阵乘法，这样构成的群就是特殊正交群\(SO(3) = \{ R \in \mathbb{R}^{3\times3} \mid R^T R = I, \det(R) = 1\}\)。

特殊正交群符合群的四个公理：

• 封闭性：如果 \(R_1, R_2 \in SO(3)\)，则 \(R_1 R_2 \in SO(3)\)。两个旋转矩阵的乘积仍然是正交矩阵，且行列式仍为1。从图形学的角度上来说，旋转两次得到的姿态，旋转一次也可以得到。
• 结合律：矩阵乘法本身是结合的，因此 \(SO(3)\) 满足结合律。
• 单位元：单位矩阵 \(I \in SO(3)\)，因为 \(I^T I = I\) 且 \(\det(I) = +1\)。
• 逆元：对于任意 \(R \in SO(3)\)，其逆元是 \(R^{-1} = R^T\)（正交矩阵的性质），且 \(\det(R^{-1}) = 1\)。

特殊正交群具有光滑特性，这一点我们可以结合旋转变换本身的特性来理解。设想这样的一个场景：三维空间中有一个魔方，这个魔方以自己的中心点位置进行旋转。无论这个魔方怎么旋转，到任何位置，旋转过程都是平滑的。在计算机图形学中，很容易实现这样的一个任务：给定一个起点旋转矩阵、终点旋转矩阵以及起终点的时间差，很容易线性插值出任意时刻的旋转矩阵。能够平滑地旋转物体，也很符合我们对客观物理现象的认知。

3.2 特殊欧式群 \(SE(3)\)

如果集合\(G\)是所有的欧式变换（刚体变换）矩阵，运算\(\cdot\)是矩阵乘法，这样构成的群就是特殊欧式群\(SE(3)=\bigg\{ T = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times4} \mid R \in SO(3) ,t \in \mathbb{R}^3 \bigg\}\)。在这里，\(R\)表示旋转矩阵，\(t\)是平移向量。

特殊欧式群符合群的四个公理：

• 封闭性：如果 \(T_1, T_2 \in SE(3)\)，则 \(T_1 T_2 \in SE(3)\)。欧式变换是齐次变换矩阵，相乘后仍然保持旋转矩阵在左上角，平移向量在右上角的形式。从图形学的角度上来说，欧式变换两次得到的位姿，欧式变换一次也可以得到。
• 结合律：矩阵乘法本身是结合的，因此 \(SE(3)\) 满足结合律。
• 单位元：单位矩阵 \(I_{4 \times 4}\)（包含 \(3 \times 3\) 单位矩阵和零平移向量）是 \(SE(3)\) 的单位元。
• 逆元：对于任意 \(T \in SE(3)\)，其逆元是

\[T^{-1} =
\begin{bmatrix}
R^T & -R^T t \\
0 & 1
\end{bmatrix}.
\]

特殊欧式群具有光滑特性，这一点同样可以结合欧式变换本身的特性来理解。欧式变换是旋转变换与平移变换的组合，我们可以假设这样一个场景：一个照相机要拍摄一个物体，需要移动到这个物体的前方，并且要调整相机朝向，才能准确生成这张物体的照片。相机无论怎么移动位置，调整朝向，这个过程都是平滑的。在计算机图形学的场景中，经常会有这样的需求，按照一条固定的轨迹飞行，这条飞行轨迹上的任意一点都可以通过插值得到，保证相机操作的平滑性。

4 李代数

4.1 预备

在进行李代数的论述之前，我们需要先学习一些预备知识。

4.1.1 反对称矩阵

一个 \(n \times n\) 实矩阵 \(A\) 是反对称矩阵（或斜对称矩阵），如果它满足：

\[A^T = -A.
\]

也就是说，矩阵的转置等于它的负数，那么这个矩阵就是反对称矩阵。一个反对称矩阵的例子如下：

\[A =
\begin{bmatrix}
0 & -a_3 & a_2 \\
a_3 & 0 & -a_1 \\
-a_2 & a_1 & 0
\end{bmatrix}.
\]

反对称矩阵有一个很重要的性质：每个三维向量都有唯一的反对称矩阵对应。具体来说，给定一个三维实向量：

\[\boldsymbol{a} =
\begin{bmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{bmatrix}
\in \mathbb{R}^3,
\]

我们可以唯一地构造一个 \(3\times3\) 的反对称矩阵，记作：

\[[\boldsymbol{a}]_\times =
\begin{bmatrix}
0 & -a_3 & a_2 \\
a_3 & 0 & -a_1 \\
-a_2 & a_1 & 0
\end{bmatrix}.
\]

这个符号 \([\boldsymbol{a}]_\times\) 中的 \(\times\) 表示“叉乘”，因为这个矩阵的作用就等价于与 \(\boldsymbol{a}\) 做叉积。

等价于叉积运算是什么意思呢？设 \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^3\)，那么：

\[\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = [\boldsymbol{a}]_\times \boldsymbol{b}.
\]

即：\(\boldsymbol{a}\) 和 \(\boldsymbol{b}\) 的叉积 等于 反对称矩阵 \([\boldsymbol{a}]_\times\) 作用在 \(\boldsymbol{b}\) 上的结果。

举例说明，设：

\[\boldsymbol{a} = \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}, \quad
\boldsymbol{b} = \begin{bmatrix}4 \\ 5 \\ 6\end{bmatrix},
\]

则：

\[[\boldsymbol{a}]_\times =
\begin{bmatrix}
0 & -3 & 2 \\
3 & 0 & -1 \\
-2 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\]

\[[\boldsymbol{a}]_\times \boldsymbol{b} =
\begin{bmatrix}
0 & -3 & 2 \\
3 & 0 & -1 \\
-2 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}4 \\ 5 \\ 6\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
-3 \\ 6 \\ -3
\end{bmatrix}
\]

而直接计算叉积：

\[\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{vmatrix}
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k} =
\begin{bmatrix}
-3 \\ 6 \\ -3
\end{bmatrix}
\]

两者的结果一致。

4.1.2 函数求导

1. 乘积法则

设 \(f(t), g(t)\) 是两个可导的实函数，那么它们乘积的导数为：

\[\frac{d}{dt}(f(t)g(t)) = f'(t)g(t) + f(t)g'(t)
\]

例如，设 \(f(t) = t^2, g(t) = \sin t\)，则：

\[(fg)' = (t^2 \sin t)' = 2t \sin t + t^2 \cos t
\]

2. 链式法则

如果 \(y = f(g(t))\)，那么：

\[\frac{dy}{dt} = f'(g(t)) \cdot g'(t).
\]

例如，令：

• \(f(u) = e^u\)
• \(u = g(t) = at\)

根据链式法则：

\[\frac{d}{dt} e^{at} = \frac{d}{du} e^u \cdot \frac{d}{dt}(at) = e^u \cdot a = e^{at} \cdot a = a e^{at}.
\]

即：

\[\frac{d}{dt} e^{at} = a e^{at}
\]

4.1.3 矩阵求导

对于一个随自变量t变化的矩阵 \(R(t)\)，它的导数 \(\frac{dR(t)}{dt}\) 是将该矩阵的每个元素分别对自变量 \(t\) 求导得到的新矩阵。例如：

如果：

\[R(t) =
\begin{bmatrix}
r_{11}(t) & r_{12}(t) \\
r_{21}(t) & r_{22}(t)
\end{bmatrix},
\]

那么：

\[\frac{dR(t)}{dt} =
\begin{bmatrix}
\frac{dr_{11}}{dt} & \frac{dr_{12}}{dt} \\
\frac{dr_{21}}{dt} & \frac{dr_{22}}{dt}
\end{bmatrix}.
\]

所以，矩阵对自变量求导 = 矩阵中每个元素对自变量求导。

通过上述概念可看出，矩阵转置运算与微分运算是可交换的。可以理解为：

• 转置是对矩阵元素做排列；
• 微分是对每个元素做导数；
• 所以先转置再导数 = 先导数再转置。

公式描述就是：

\[\frac{d}{dt} R(t)^T = \left(\frac{dR(t)}{dt}\right)^T.
\]

4.1.4 微分方程

微分方程是数学中的一种方程，它涉及一个或多个未知函数及其导数，目标是找到满足该方程的未知函数。后面会求解一个一阶线性常微分方程如下：

\[\frac{dx(t)}{dt} = a x(t), \quad x(0) = x_0,
\]

其中 \(a\) 是常数。

先说答案，这个方程的通解是：

\[x(t) = x_0 e^{at}.
\]

可以把这个解代入原方程验证是否成立。对解的两边进行求导：

\[\frac{dx(t)}{dt} = x_0 \cdot \frac{d}{dt}(e^{at}) = x_0 \cdot a e^{at} = a x_0 e^{at} = a x(t).
\]

左边是 \(\frac{dx(t)}{dt}\)，右边是 \(a x(t)\)，两者相等，所以解成立。

如果需要严格推导这个解，需要使用分离变量法。

从原方程出发：

\[\frac{dx}{dt} = a x.
\]

把变量分开：

\[\frac{1}{x} dx = a dt.
\]

两边积分：

\[\int \frac{1}{x} dx = \int a dt \\
\Rightarrow \ln|x| = at + C,
\]

其中 \(C\) 是积分常数。

两边取指数：

\[|x| = e^{at + C} = e^C e^{at}.
\]

令 \(x_0 = e^C\)，得：

\[x(t) = x_0 e^{at}.
\]

4.2 引出

前面我们介绍过，李群的光滑性质保证了是可以微分的，那我们就尝试对李群\(SO(3)\)进行求导。假设一个刚体在三维空间中绕某个轴旋转，其旋转状态可以用一个旋转矩阵 \(R(t)\) 来描述，其中 \(t\) 是时间参数。那么我们要求的就是 \(R(t)\) 关于时间 \(t\) 的导数：

\[\frac{d}{dt} R(t)
\]

由于 \(R(t)\) 是正交矩阵，满足 \(R(t)^T R(t) = I\)，对两边关于 \(t\) 求导：

\[\frac{d}{dt} \big( R(t)^T R(t) \big) = \frac{d}{dt} I
\]

根据函数求导的乘积法则，展开左边的导数：

\[\frac{dR(t)^T}{dt} R(t) + R(t)^T \frac{dR(t)}{dt} = 0.
\]

根据预备知识，矩阵转置运算与微分运算可交换，有\(\frac{dR(t)^T}{dt} = \big(\frac{dR(t)}{dt}\big)^T\)，因此上式可以改写为：

\[\bigg(\frac{dR(t)}{dt}\bigg)^T R(t) + R(t)^T \frac{dR(t)}{dt} = 0.
\]

继而：

\[\frac{dR(t)}{dt} R(t)^T = -\bigg(\frac{dR(t)}{dt}\bigg)^T R(t)
\]

这表明 \(\frac{dR(t)}{dt} R(t)^T\) 是一个反对称矩阵，记作 \([\boldsymbol{\omega}(t)]_{\times}\)，即：

\[\frac{dR(t)}{dt} = [\boldsymbol{\omega}(t)]_{\times} R(t),
\]

上式是一个一阶线性微分方程，有如下条件：

\[\frac{dR(t)}{dt} = [\boldsymbol{\omega}]_\times R(t), \quad R(0) = I,
\]

这个方程我们在预备知识中求解过，它的解是：

\[R(t) = \exp([\boldsymbol{\omega}]_\times t).
\]

其中 \(\exp\) 表示矩阵指数运算。\(\boldsymbol{\omega}(t)\) 描述了刚体在时刻 \(t\) 的瞬时旋转轴和旋转速率，其实也就是表达旋转矩阵的旋转向量，\([\boldsymbol{\omega}(t)]_{\times}\) 是其对应的反对称矩阵。这个公式给出了从旋转向量到旋转矩阵（李群）的映射，也就是指数映射。而这个旋转向量，就是我们要论述的李代数。

如果读者熟悉计算机图形学，就会对旋转向量并不陌生，它描述了一个旋转操作的方向（旋转轴）和大小（旋转角度）。四元数就是一个与旋转向量密切相关的参数，通过罗德里格斯公式也可以将旋转向量转换成旋转矩阵。

5 结语

本篇由群引申到李群，再引出到李代数，不得不说SLAM中李群和李代数相关的知识还是很多，其中很多知识都是第一次接触到。另外，很多更基础的知识（比如高数、线代）也都忘记了，不得不一边学习新的知识一边复习旧的知识。在下一篇文章中，笔者会继续总结论述一下李代数相关的内容。