单位圆盘的全纯自同构群Aut B(0,1)

利用Schwarz引理可以求出单位圆盘$B(0,1)$的全纯自同构群${\rm Aut}B(0,1)$.

任取$a\in B(0,1)$,记$$\varphi_{a}(z)=\frac{a-z}{1-\overline{a}z}$$

显然这个分式线性变换$\varphi_{a}\in{\rm Aut}B(0,1)$且$\varphi_{a}^{-1}=\varphi_{a}$.任取$f\in{\rm Aut}B(0,1)$,令$g=f\circ\varphi_{a}$,显然$g(0)=0$且$g\in{\rm Aut}B(0,1)$.由Schwarz引理知$|g'(0)|\leq1$.

另外显然$g^{-1}(0)=0$且$g^{-1}\in{\rm Aut}B(0,1)$,则$$\left|\left(g^{-1}\right)'(0)\right|=\frac{1}{|g'(0)|}\leq1$$

所以$|g'(0)|=1$.这说明存在$\theta\in\mathbb R$使得$g(z)=f\circ\varphi_{a}(z)=e^{i\theta}z$.令$z=\varphi_{a}(z)$即得$$f(z)=e^{i\theta}\varphi_{a}(z)=e^{i\theta}\frac{a-z}{1-\overline{a}z}.$$