POJ 开关问题 解题报告

开关问题

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Description

有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。你的目标是经过若干次开关操作后使得最后N个开关达到一个特定的状态。对于任意一个开关，最多只能进行一次开关操作。你的任务是，计算有多少种可以达到指定状态的方法。（不计开关操作的顺序）

Input

输入第一行有一个数K，表示以下有K组测试数据。

每组测试数据的格式如下：

第一行 一个数N（0 < N < 29）

第二行 N个0或者1的数，表示开始时N个开关状态。

第三行 N个0或者1的数，表示操作结束后N个开关的状态。

接下来 每行两个数I J，表示如果操作第 I 个开关，第J个开关的状态也会变化。每组数据以 0 0 结束。

Output

如果有可行方法，输出总数，否则输出“Oh,it's impossible~!!” 不包括引号

Sample Input

2

3

0 0 0

1 1 1

1 2

1 3

2 1

2 3

3 1

3 2

0 0

3

0 0 0

1 0 1

1 2

2 1

0 0

Sample Output

4

Oh,it's impossible~!!

Hint

第一组数据的说明：

一共以下四种方法：

操作开关1

操作开关2

操作开关3

操作开关1、2、3 （不记顺序）

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参考lyd的算法竞赛进阶指南。

设\(a_{i,j}\)代表\(j\)操作后是否影响\(i\)，\(x_i\)为第\(i\)个开关是否操作

\(\begin{bmatrix}
a_{1,1}*x_1 & xor & a_{1,2}*x_2 & ... & a_{1,n}*x_n & to_1 \\
a_{2,1}*x_1 & xor & a_{2,2}*x_2 & ... & a_{2,n}*x_n & to_2 \\
...\\
a_{n,1}*x_1 & xor & a_{n,2}*x_2 & ... & a_{n,n}*x_n & to_n \\
\end{bmatrix}\quad\)

异或就是不进位加法，我们参照着普通的高斯消元做就可以了

最后解的个数是1<<自由元的数量

用状态压缩存储一行状态，可以做到n^2

然而书中是这样写的

for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(a[j]>a[i])
                swap(a[j],a[i]);
        if(a[i]==1) {ans=0;break;}
        if(!a[i]) {ans=1<<n-i+1;break;}
        for(int k=n;k;k--)
            if(a[i]>>k&1)
                for(int j=1;j<=n;j++)
                    if((i!=j)&&(a[j]>>k&1)) a[j]^=a[i];
    }

而我强行

int r=n+1-i;
        if(a[i]>>r&1)
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
                if(a[j]>>r&1) a[j]^=a[i];

自然是wa掉啦，原因列指针并不一定等于行指针

不过这样就行啦(这时候ans不是答案，是自由元个数)

for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(a[j]>a[i])
                swap(a[j],a[i]);
        if(a[i]==1) {ans=-1;break;}
        if(!a[i]) {ans+=n-i+1;break;}
        int r=n+1-i;
        if(!(a[i]>>r&1)) ++ans;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(a[j]>>r&1) a[j]^=a[i];
    }

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2018.8.29