[CSP-S模拟测试]:连连看（图论+容斥）

题目传送门（内部题74）

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输入格式

　　输入文件$link.in$
　　第一行三个整数$n,m,k$，之间用空格隔开，$n,m$表示地图行数和列数，$k$表示每个方块周围相邻的位置（至多有$4$个，至少有$2$个，在地图的角上就是$2$个，地图的边上就是$3$个，地图内部就是$4$个）中，最多有$k$个位置是空地。
　　接下来$n$行，每行$m$个自然数，之间用空格隔开，描述地图。

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输出格式

　　输出文件$link.out$
　　一行一个整数表示这一步有多少种选法。

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样例

样例输入1：

1 3 1
1 1 1

样例输出1：

2

样例输入2：

2 3 1
0 0 0
1 1 1

样例输出2：

3

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数据范围与提示

样例$1$解释：

　　两种选法，$(x,y)$表示第$x$行第$y$列的方块
　　第一种：$(1,1)$和$(1,2)$，第二种：$(1,2)$和$(1,3)$
　　注意第$1$行第$1$列的方块和第$3$列的方块并不能连通。

样例$2$解释：

　　三种选法，$(x,y)$表示第$x$行第$y$列的方块
　　第一种：$(1,1)$和$(1,2)$，第二种：$(1,2)$和$(1,3)$，第三种：$(1,1)$和$(1,3)$

数据范围：

　　对所有测试点，$n\leqslant 10^3,m\leqslant 10^3,k\in\{0,1,2,3,4\}$，地图中出现的数字都是$[0,10^6]$的整数。
　　第$1$个测试点：$k=0$
　　第$2,3,4$测试点：$n>1,m>1$，且只有满足横纵坐标均为奇数的位置才会有方块。
　　也就是说，如果某个位置的横坐标或纵坐标是偶数，这个位置就是空地（数字$0$）。$k=4$。
　　第$5,6,7$个测试点：$n\times m\leqslant 1,000,k=4$。
　　第$8,9,10$个测试点：$k=1$
　　第$11,12,13,14$个测试点：$k=2$
　　第$15,16$个测试点：$k=3$
　　第$17,18,19,20$个测试点：$k=4$
　　第$8,11,12,15,17$个测试点还满足：$n=500,m=500$
　　第$18$个测试点还满足：$n=700,m=700$
　　如果担心输入时间过长，可以使用第二题给出的读入函数。

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题解

相当有意思的一道题呢～

不妨设每一块全白为一个“空地极大联通块”。

再不妨设每两个不是空地的块之间也有一个“空地极大联通块”。

那么，挨着同一个“空地极大联通块”的相同颜色的就可以相互连线了。

但是显然不能直接统计每一个“空地极大联通块”，因为有可能出现如下图中的情况：

0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	0	1	1	1	0
0	1	0	0	1	0	0	1	0
0	1	0	1	0	1	0	1	0
0	1	0	0	1	0	0	1	0
0	1	1	1	0	1	1	1	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0

会发现，可么可能有一对点同时属于多个“空地极大联通块”，但是不用担心，容斥一下就好了。

因为一个点最多属于$4$个“空地极大联通块”，所以状态数也不多。

于是可以设$f1[],f2[][],f3[][][],f4[][][][]$分别表示仅属于集合……的，属于集合……和……的，……

但是这样时间可空间都不允许。

考虑其实非$0$项并不多，于是可以仅存储这些非$0$项，然后排个序将一样的颜色排到一起就可以容斥啦。

时间复杂度：$\Theta(4\times 15\times n\times m)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct rec{int col,a[5];}e[15000001];
int n,m,k;
int Map[1001][1001],vis[1001][1001];
int gs[1001][1001][5],sum[1001][1001],gss,top;
long long ans,now=1;
void dfs(int x,int y)
{
	if(x>1&&!vis[x-1][y])
		if(!Map[x-1][y]){vis[x-1][y]=gss;dfs(x-1,y);}
		else if(gs[x-1][y][sum[x-1][y]]!=gss)gs[x-1][y][++sum[x-1][y]]=gss;
	if(x<n&&!vis[x+1][y])
		if(!Map[x+1][y]){vis[x+1][y]=gss;dfs(x+1,y);}
		else if(gs[x+1][y][sum[x+1][y]]!=gss)gs[x+1][y][++sum[x+1][y]]=gss;
	if(y>1&&!vis[x][y-1])
		if(!Map[x][y-1]){vis[x][y-1]=gss;dfs(x,y-1);}
		else if(gs[x][y-1][sum[x][y-1]]!=gss)gs[x][y-1][++sum[x][y-1]]=gss;
	if(y<m&&!vis[x][y+1])
		if(!Map[x][y+1]){vis[x][y+1]=gss;dfs(x,y+1);}
		else if(gs[x][y+1][sum[x][y+1]]!=gss)gs[x][y+1][++sum[x][y+1]]=gss;
}
bool cmp(rec a,rec b)
{
	if(a.col!=b.col)return a.col<b.col;
	for(int i=1;i<5;i++)
		if(a.a[i]!=b.a[i])return a.a[i]<b.a[i];
	return 0;
}
bool diff(rec a,rec b)
{
	if(a.col!=b.col)return 1;
	for(int i=1;i<5;i++)
		if(a.a[i]!=b.a[i])return 1;
	return 0;
}
int coun(rec a)
{
	for(int i=1;i<5;i++)
		if(a.a[i]==0x3f3f3f3f)return i-1;
	return 4;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			scanf("%d",&Map[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(!Map[i][j])continue;
			if(Map[i][j]==Map[i-1][j])
			{
				gs[i][j][++sum[i][j]]=++gss;
				gs[i-1][j][++sum[i-1][j]]=gss;
			}
			if(Map[i][j]==Map[i][j-1])
			{
				gs[i][j][++sum[i][j]]=++gss;
				gs[i][j-1][++sum[i][j-1]]=gss;
			}
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if(!Map[i][j]&&!vis[i][j])
			{gss++;dfs(i,j);}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if(Map[i][j])
			{
				if(sum[i][j]>=1)
					for(int k=1;k<=sum[i][j];k++)
					{
						e[++top].col=Map[i][j];
						e[top].a[1]=gs[i][j][k];
						e[top].a[2]=0x3f3f3f3f;
						e[top].a[3]=0x3f3f3f3f;
						e[top].a[4]=0x3f3f3f3f;
					}
				if(sum[i][j]>=2)
					for(int k=1;k<=sum[i][j];k++)
						for(int l=k+1;l<=sum[i][j];l++)
						{
							e[++top].col=Map[i][j];
							e[top].a[1]=gs[i][j][k];
							e[top].a[2]=gs[i][j][l];
							e[top].a[3]=0x3f3f3f3f;
							e[top].a[4]=0x3f3f3f3f;
						}
				if(sum[i][j]>=3)
					for(int k=1;k<=sum[i][j];k++)
						for(int l=k+1;l<=sum[i][j];l++)
							for(int o=l+1;o<=sum[i][j];o++)
							{
								e[++top].col=Map[i][j];
								e[top].a[1]=gs[i][j][k];
								e[top].a[2]=gs[i][j][l];
								e[top].a[3]=gs[i][j][o];
								e[top].a[4]=0x3f3f3f3f;
							}
				if(sum[i][j]>=4)
				{
					e[++top].col=Map[i][j];
					e[top].a[1]=gs[i][j][1];
					e[top].a[2]=gs[i][j][2];
					e[top].a[3]=gs[i][j][3];
					e[top].a[4]=gs[i][j][4];
				}
			}
	sort(e+1,e+top+1,cmp);
	for(int i=1;i<=top;i++)
		if(diff(e[i+1],e[i]))
		{
			if(coun(e[i])&1)ans+=now*(now-1)/2;
			else ans-=now*(now-1)/2;
			now=1;
		}
		else now++;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

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rp++