AtCoder Grand Contest 040 C - Neither AB nor BA

传送门

好妙的题啊

首先容易想到简单容斥，统计合法方案数可以考虑总方案数减去不合法方案数

那么先考虑如何判断一个串是否合法，但是直接判断好像很不好搞

这时候就需要一些 $magic$ 了，把所有位置下标为奇数的字符 $\text{A}$ 换成 $\text{B}$ ，$\text{B}$ 换成 $\text{A}$

然后发现对于转化后的串，原本的限制变成了不能删除 $AA$ 和 $BB$ ，考虑到原串和新串是一一对应的

所以如果能算出合法新串的数量那么即为答案

然后容易发现，新串合法的充分必要条件为：字符 $A$ 和字符 $B$ 数量的最大值不超过 $n/2$

首先显然是必要的，因为如果某一个字符 $c$ 数量超过一半其他的字符不管怎么和 $c$ 抵消最后都会剩下一些 $c$ 没法消除

然后也容易证明是充分的，对于任意时刻，假设此时 $A$ 的数量大于等于 $B$ 的数量，那么我们只要优先让 $A$ 和其他字符抵消

显然一定存在某个 $A$ 它的旁边有其他字符

如果 $B$ 的数量比 $A$ 多，我们也只要优先消 $B$ 即可

那么证明完成了，统计不合法方案十分简单，枚举 $k>n/2$ ，然后算一下 $n$ 个位置任意选 $k$ 个填 $A$ ，剩下其他位置填不为 $A$ 的字符的方案数

$B$ 也同理，然后就做完了

这里简单容斥的时候显然不用再加上 $A,B$ 数量同时大于 $n/2$ 的情况（因为不存在）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=,f=; char ch=getchar();
    while(ch<''||ch>'') { if(ch=='-') f=-; ch=getchar(); }
    while(ch>=''&&ch<='') { x=(x<<)+(x<<)+(ch^); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=1e7+,mo=;
inline int fk(int x) { return x>=mo ? x-mo : x; }
int n,fac[N],facinv[N];
int ksm(int x,int y)
{
    int res=;
    while(y) { if(y&) res=1ll*res*x%mo; x=1ll*x*x%mo; y>>=; }
    return res;
}
inline int C(int x,int y) { return 1ll*fac[x]*facinv[y]%mo*facinv[x-y]%mo; }
int main()
{
    n=read();
    fac[]=;
    for(int i=;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mo;
    facinv[n]=ksm(fac[n],mo-);
    for(int i=n-;i>=;i--) facinv[i]=1ll*facinv[i+]*(i+)%mo;
    int ans=ksm(,n);
    for(int k=n/+;k<=n;k++)
        ans=fk(ans-2ll*C(n,k)*ksm(,n-k)%mo+mo);
    printf("%d\n",ans);
    return ;
}