[LNOI2022]盒

\(LNOI2022\)盒

由于是加的形式，那么可以套路的拆贡献，枚举每条边的贡献就好了

\(40pts\)

//比较显然的事情
//首先确定了一个B数组之后
//最小的移动应该是
//设左右两侧比原先值多的为Max
//少的为Min
///我们考虑每个点只计算向一侧的贡献
//我们的答案是(Max-Limx)*val+(Limn-Min)*val
//n^2的dp很好给出
//dp[i][j]表示前i个选了j个的答案
//不需要貌似,只需要枚举这个点选的,和左边选的,还有右边选的就好了
//枚举这个点选的,枚举左边,复杂度n^2
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define MAXN 20005
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,w[MAXN],a[MAXN],Sum[MAXN];
int fac[MAXN+5],inv[MAXN+5];
void Init()
{
	fac[0]=inv[0]=1;
	fac[1]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=MAXN;i++)
	{
		fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;
		inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	}
	for(int i=1;i<=MAXN;i++)
	{
		inv[i]=(inv[i]*inv[i-1])%mod;
	}
}
int C(int n,int m)
{
	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
void sol()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	scanf("%lld",&a[i]);
    	Sum[i]=Sum[i-1]+a[i];
	}
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%lld",&w[i]);
	}
	int res=0;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		for(int bed=0;bed<=Sum[n];bed++)
		{
			int pre=Sum[n]-bed;
			{
			     res+=(abs(Sum[i]-pre))*w[i]%mod*C(pre+i-1,i-1)%mod*C(bed+(n-i)-1,n-i-1)%mod;
				 res%=mod;
			}
		}
	}
	cout<<res<<"\n";
}
int T;
signed main()
{
	scanf("%lld",&T);
	Init();
	while(T--) sol();
}

答案为

\[\sum_i w[i]\sum_{j=0}^S|s_i-j|\binom{j+i-1}{i-1}\binom{S-j+n-i-1}{n-i-1}
\\
\sum_iw[i](2\times\sum_{j=0}^{s[i]}(s_i-j)\binom{j+i-1}{i-1}\binom{S-j+n-i-1}{n-i-1}+\sum_{j=0}^{S}(j-s_i)\binom{j+i-1}{i-1}\binom{S-j+n-i-1}{n-i-1})
\]

考虑后面那个式子

\[\sum_{j=0}^S(j-s_i)\binom{j+i-1}{i-1}\binom{S-j+n-i-1}{n-i-1}
\\
\sum_{j=0}^S j\binom{j+i-1}{i-1}\binom{S-j+n-i-1}{n-i-1}-\sum_{j=0}^S s_i\binom{j+i-1}{i-1}\binom{S-j+n-i-1}{n-i-1}
\\
\sum_{j=0}^S j\binom{j+i-1}{j}\binom{S-j+n-i-1}{n-i-1}-\sum_{j=0}^S s_i\binom{j+i-1}{j}\binom{S-j+n-i-1}{n-i-1}
\\
i\sum_{j=0}^S\binom{j+i-1}{i}\binom{S-j+n-i-1}{n-i-1}-\sum_{j=0}^S s_i\binom{j+i-1}{j}\binom{S-j+n-i-1}{n-i-1}
\\
\]

前半部分\(j\leftarrow j-1\)

\[i\sum_{j=0}^{S-1}\binom{j+i}{i}\binom{S-j+n-i-2}{n-i-1}-\sum_{j=0}^S s_i\binom{j+i-1}{j}\binom{S-j+n-i-1}{n-i-1}
\\
i\sum_{j=0}^{S-1}\binom{j+i}{j}\binom{S-j+n-i-2}{S-j-1}-\sum_{j=0}^S s_i\binom{j+i-1}{j}\binom{S-j+n-i-1}{n-i-1}
\]

\[\binom{n+m}{n}=\sum_{j=0}^{m}\binom{i+j}{j}\binom{n+m-i-j-1}{m-j}
\]

替换原式

\[i\sum_{j=0}^{S-1}\binom{j+i}{j}\binom{n+S-1-i-j-1}{S-1-j}-\sum_{j=0}^S s_i\binom{j+i-1}{j}\binom{(n-1)-(i-1)+S-j-1}{S-j}
\\
i\binom{n+S-1}{n}-s_i\binom{n+S-1}{S}
\]

那么对于前一个式子，我们变化的只是枚举上界，考虑组合意义变化为，在第 \(i\) 列的纵坐标不能超过 \(s[i]\)

等价于在走到某一行\(/\)列，对应的列\(/\)行不能超过某个数

在第 \(p\) 列 \(y\) 不超过第 \(q\) 行的方案数，等价于第 \(q\) 行到第 \(q+1\) 行，\(x\) 至少为 \(p+1\) 的方案数

\[\sum_{i=0}^q\binom{p+i}{i}\binom{n+m-p-i-1}{m-i}=\sum_{i=p+1}^{n}\binom{i+q}{q}\binom{n+m-i-q-1}{n-i}
\]

我们可以\(O(1)\)的更新值的变化，从而做到线性

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define MAXN 3000005
using namespace std;
const int N=3e6+100;
const int INF=LLONG_MAX,mod=998244353;
int my_pow(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) res=(res*a)%mod;
		a=(a*a)%mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int n,fac[MAXN+5],inv[MAXN+5],Sum[MAXN],w[MAXN],S;
void Init()
{
	 fac[0]=inv[0]=1;
	 fac[1]=inv[1]=1;
	 for(int i=2;i<=MAXN;i++)
	 {
	     fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;
	  	 inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	 }
	 for(int i=1;i<=MAXN;i++)
	 {
	 	 inv[i]=(inv[i-1]*inv[i])%mod;
	 }
}
int C(int n,int m)
{
	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
struct Solve
{
	  int n,m,p,q,res;
	  void Init(int N,int M)
	  {
		   n=N;m=M;p=0;q=0;
		   res=C(n+m-1,m);
		   return;
	  }
	  int move(int P,int Q)
	  {
	      while(q<Q)
		  {
	         ++q;
	      	 res+=C(q+p,q)*C(n+m-q-p-1,m-q)%mod;
	      	 res%=mod;
	      }
		  while(p<P)
		  {
		     ++p;
		     res-=C(p+q,p)*C(n+m-p-q-1,n-p)%mod;
		     res=(res%mod+mod)%mod;
		  }
	      return res;
	  }
}res1,res2;
void sol()
{
     cin>>n;
     for(int i=1,a;i<=n;i++)
     {
     	 cin>>a;
     	 Sum[i]=Sum[i-1]+a;
	 }
     for(int i=1;i<n;i++) cin>>w[i];
     S=Sum[n];
     res1.Init(n-1,S);
  	 res2.Init(n,S-1);
  	 int Ans=0;
  	 for(int i=1;i<n;i++)
	 {
         int res=0;
	     res=(res+i*C(n+S-1,n))%mod;
	     res=(res+mod-Sum[i]*C(n+S-1,S)%mod)%mod;
	     if(Sum[i]) res=(res+2*Sum[i]*res1.move(i-1,Sum[i]))%mod;
	     if(Sum[i]) res=(res+mod-2*i*res2.move(i,Sum[i]-1)%mod)%mod;
	     Ans=(Ans+res*w[i])%mod;
     }
  	 printf("%lld\n",Ans);
}
int T;
signed main()
{
     Init();
     cin>>T;
     while(T--) sol();
     return 0;
}