斯坦纳树 [bzoj2595][wc2008]游览计划 题解

话说挺早就写过斯坦纳树了，不过当时没怎么总结，也不是很理解……现在来个小结吧~

斯坦纳树就是包含给定点的最小生成树(个人理解权值应当为正)。

一般来讲，给定点的数目应该很小吧。。。于是我们可以用状压DP来解决。

需要2个方程：

f[st][i]表示连通性至少为st，且经过i点的最小距离

方程1.f[st][i] = Min{f[s][i] + f[st - s][i]}(s为st的子集)

方程2.f[st][i] = Min{f[st][j] + w(i,j)}(i,j之间有边相连)

这里大家可能会有疑问，为什么是两个方程？

因为单凭第一个方程转移是不够准确的，会出现重点的问题。不过也一定包含合法的转移，所以我们要通过第二个方程来转移。如果我没有理解错，这也就是为什么这种方法不能应用于有负权的图上。

第一个直接枚举子集，完了以后用SPFA转移下一个（当然也可以用floyed）。

void SPFA(int sta)
{
    while (!q.empty()) {
        int i,j;
        unpack(q.front(),i,j);
        inq[q.front()] = 0;q.pop();
        for (int k = 0; k < 4; ++k) {
            int x = d[k][0] + i,y = d[k][1] + j,tmp;
            if (x == -1 || y == -1 || x == n || y == m) continue;
            if (update(x,y,sta,i,j,sta,f[i][j][sta] + a[x][y]) && !inq[tmp = pack(x,y)])
                q.push(tmp),inq[tmp] = 1;
        }
    }
}

要记住f[st][i]表示连通性至少为st，是至少。

    for (int sta = 1,tmp; sta < Max_s; ++sta) {
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            for (int j = 0; j < m; ++j) {
                for (int s = sta&(sta - 1); s; s = (s - 1)&sta)
                    update(i,j,sta,i,j,s,f[i][j][s] + f[i][j][sta - s] - a[i][j]);
                if (f[i][j][sta] != INF) q.push(tmp = pack(i,j)),inq[tmp] = 1;
            }
        SPFA(sta);
    }

这样转移就可以了。

/**************************************************************
    Problem: 2595
    User: lazycal
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:144 ms
    Memory:1640 kb
****************************************************************/
 
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using std::queue;
queue<int>q;
const int N = 10,INF = 0xf0f0f0f;
const int d[4][2] = {{1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1}};
int f[N][N][1<<N],n,m,a[N][N],st[N][N],K,pre[N][N][1<<N];
bool vis[N][N],inq[N*N];
int pack(const int x,const int y){return x*10 + y;}
int pack2(const int x,const int y,const int s){return x*100000 + y*10000 + s;}
void unpack(const int x,int &i,int &j){i = x/10; j = x%10;}
void unpack2(const int x,int &i,int &j,int &s){s = x%10000; j = (x/10000)%10; i = x/100000;}
bool update(const int x,const int y,const int news,const int i,const int j,const int sta,const int w)
{
    if (f[x][y][news] > w) return f[x][y][news] = w,pre[x][y][news] = pack2(i,j,sta),true;
    return false;
}
void SPFA(int sta)
{
    while (!q.empty()) {
        int i,j;
        unpack(q.front(),i,j);
        inq[q.front()] = 0;q.pop();
        for (int k = 0; k < 4; ++k) {
            int x = d[k][0] + i,y = d[k][1] + j,tmp;
            if (x == -1 || y == -1 || x == n || y == m) continue;
            if (update(x,y,sta/*|st[x][y]*/,i,j,sta,f[i][j][sta] + a[x][y]) /*&& (sta|st[x][y]) == sta*/ && !inq[tmp = pack(x,y)])
                q.push(tmp),inq[tmp] = 1;
        }
    }
}
void dfs(const int i,const int j,const int s)
{
    if (!pre[i][j][s]) return;
    int x,y,ns;
    vis[i][j] = 1;
    unpack2(pre[i][j][s],x,y,ns);
    dfs(x,y,ns);
    if (x == i && y == j) dfs(x,y,s - ns);
}
void output()
{
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < m; ++j)
            if (!a[i][j]) printf("x");
            else if (vis[i][j]) printf("o");
            else printf("_");
        puts("");
    }
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("2595.in","r",stdin);
    freopen("2595.out","w",stdout);
#endif
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(f,0xf,sizeof f);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            if (!a[i][j]) st[i][j] = 1<<(K++),f[i][j][st[i][j]] = 0;
        }
    int Max_s = (1 << K);
    for (int sta = 1,tmp; sta < Max_s; ++sta) {
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            for (int j = 0; j < m; ++j) {
                //if (a[i][j] && !(st[i][j]&sta)) continue;
                for (int s = sta&(sta - 1); s; s = (s - 1)&sta)
                    update(i,j,sta,i,j,s,f[i][j][s] + f[i][j][sta - s] - a[i][j]);
                if (f[i][j][sta] != INF) q.push(tmp = pack(i,j)),inq[tmp] = 1;//test!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
            }
        SPFA(sta);
        // printf("\n%d\n",sta);
        // for (int i = 0; i < n; ++i) {
        //  for (int j = 0; j < m; ++j) printf("%d ",f[i][j][sta]);
        //  puts("");
        // }
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        for (int j = 0; j < m; ++j)
            if (!a[i][j]) {
                printf("%d\n",f[i][j][Max_s - 1]);
                dfs(i,j,Max_s - 1);
                output();
                return 0;
            }
}