bzoj2595: [Wc2008]游览计划 斯坦纳树

斯坦纳树是在一个图中选取某些特定点使其联通(可以选取额外的点),要求花费最小,最小生成树是斯坦纳树的一种特殊情况

我们用dp[i][j]来表示以i为根,和j状态是否和i联通,那么有

转移方程:

dp[i][j]=min(dp[i][s]+dp[j-s]-a[i][j]) (表示有两个状态s和j-s都和i联通,我们把这两个状态联通起来,这样多算了一次a[i][j],减去即可)

dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j]+a[i][k]) (如果i和k连着,那么,链接i和k,更新dp[i][j]),此处类似与最短路中的松弛操作

来看这道题就是求平面上给定点的斯坦纳树,要求输出路径,我们更新状态的时候记录pre,

spfa松弛(164 ms):

/**************************************************************
    Problem: 2595
    User: walfy
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:164 ms
    Memory:7756 kb
****************************************************************/

//#pragma comment(linker, "/stack:200000000")
//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")
//#pragma GCC optimize("unroll-loops")
#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define pi acos(-1.0)
#define ll long long
#define vi vector<int>
#define mod 1000000007
#define C 0.5772156649
#define ls l,m,rt<<1
#define rs m+1,r,rt<<1|1
#define pil pair<int,ll>
#define pli pair<ll,int>
#define pii pair<int,int>
#define cd complex<double>
#define ull unsigned long long
#define base 1000000000000000000
#define Max(a,  b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,  b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0)
inline void add(ll &a,ll b){a+=b;if(a>=mod)a-=mod;}
inline ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline ll qp(ll a,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*a%mod;a=a*a%mod,b>>=1;}return ans;}

using namespace std;

const double g=10.0,eps=1e-12;
const int N=10+10,maxn=(1<<10)+10,inf=0x3f3f3f3f,INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

struct Pre{
    int x,y,st;
}pre[N][N][maxn];
int f[N][N][maxn],n,m,a[N][N];
queue<pii>q;
bool vis[N][N];
int dx[4]={0,0,1,-1};
int dy[4]={1,-1,0,0};
void spfa(int st)
{
    while(!q.empty())
    {
        pii p=q.front();q.pop();
        vis[p.fi][p.se]=0;
        for(int i=0;i<4;i++)
        {
            int nx=p.fi+dx[i],ny=p.se+dy[i];
            if(1<=nx&&nx<=n&&1<=ny&&ny<=m)
            {
                if(f[p.fi][p.se][st]+a[nx][ny]<f[nx][ny][st])
                {
                    f[nx][ny][st]=f[p.fi][p.se][st]+a[nx][ny];
                    pre[nx][ny][st]={p.fi,p.se,st};
                    if(!vis[nx][ny])
                    {
                        vis[nx][ny]=1;
                        q.push(mp(nx,ny));
                    }
                }
            }
        }
    }
}
void dfs(int x,int y,int st)
{
    vis[x][y]=1;
    Pre p=pre[x][y][st];
    if(!p.x)return ;
    dfs(p.x,p.y,p.st);
    if(x==p.x&&y==p.y)
        dfs(p.x,p.y,st-p.st);
}
int main()
{
    int cnt=0,ansx=-1,ansy;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(f,inf,sizeof f);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            if(!a[i][j])
            {
                f[i][j][(1<<cnt)]=0;cnt++;
                if(ansx==-1)ansx=i,ansy=j;
            }
        }
    }
    for(int st=0;st<(1<<cnt);st++)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                for(int s=st;s;s=(s-1)&st)
                {
                    if(f[i][j][s]+f[i][j][st-s]-a[i][j]<f[i][j][st])
                    {
                        f[i][j][st]=f[i][j][s]+f[i][j][st-s]-a[i][j];
                        pre[i][j][st]={i,j,s};
                    }
                }
                if(f[i][j][st]<inf)q.push(mp(i,j)),vis[i][j]=1;
            }
        }
        spfa(st);
    }
    printf("%d\n",f[ansx][ansy][(1<<cnt)-1]);
    memset(vis,0,sizeof vis);
    dfs(ansx,ansy,(1<<cnt)-1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(!a[i][j])putchar('x');
            else putchar(vis[i][j]?'o':'_');
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}
/***********************

***********************/

dij松弛(432 ms):

/**************************************************************
    Problem: 2595
    User: walfy
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:432 ms
    Memory:7756 kb
****************************************************************/

//#pragma comment(linker, "/stack:200000000")
//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")
//#pragma GCC optimize("unroll-loops")
#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define pi acos(-1.0)
#define ll long long
#define vi vector<int>
#define mod 1000000007
#define C 0.5772156649
#define ls l,m,rt<<1
#define rs m+1,r,rt<<1|1
#define pil pair<int,ll>
#define pli pair<ll,int>
#define pii pair<int,int>
#define cd complex<double>
#define ull unsigned long long
#define base 1000000000000000000
#define Max(a,  b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,  b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0)
inline void add(ll &a,ll b){a+=b;if(a>=mod)a-=mod;}
inline ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline ll qp(ll a,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*a%mod;a=a*a%mod,b>>=1;}return ans;}

using namespace std;

const double g=10.0,eps=1e-12;
const int N=10+10,maxn=(1<<10)+10,inf=0x3f3f3f3f,INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

struct Pre{
    int x,y,st;
}pre[N][N][maxn];
int f[N][N][maxn],n,m,a[N][N];
bool vis[N][N];
int dx[4]={0,0,1,-1};
int dy[4]={1,-1,0,0};
int state;
struct node{
    int x,y;
    bool operator <(const node&rhs)const{
        return f[x][y][state]<f[rhs.x][rhs.y][state];
    }
};
priority_queue<node>q;
void dij(int st)
{
    while(!q.empty())
    {
        node p=q.top();q.pop();
        for(int i=0;i<4;i++)
        {
            int nx=p.x+dx[i],ny=p.y+dy[i];
            if(1<=nx&&nx<=n&&1<=ny&&ny<=m)
            {
                if(f[p.x][p.y][st]+a[nx][ny]<f[nx][ny][st])
                {
                    f[nx][ny][st]=f[p.x][p.y][st]+a[nx][ny];
                    pre[nx][ny][st]={p.x,p.y,st};
                    q.push({nx,ny});
                }
            }
        }
    }
}
void dfs(int x,int y,int st)
{
    vis[x][y]=1;
    Pre p=pre[x][y][st];
    if(!p.x)return ;
    dfs(p.x,p.y,p.st);
    if(x==p.x&&y==p.y)
        dfs(p.x,p.y,st-p.st);
}
int main()
{

    int cnt=0,ansx=-1,ansy;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(f,inf,sizeof f);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            if(!a[i][j])
            {
                f[i][j][(1<<cnt)]=0;cnt++;
                if(ansx==-1)ansx=i,ansy=j;
            }
        }
    }
    for(int st=0;st<(1<<cnt);st++)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                for(int s=st;s;s=(s-1)&st)
                {
                    if(f[i][j][s]+f[i][j][st-s]-a[i][j]<f[i][j][st])
                    {
                        f[i][j][st]=f[i][j][s]+f[i][j][st-s]-a[i][j];
                        pre[i][j][st]={i,j,s};
                    }
                }
                if(f[i][j][st]<inf)q.push({i,j});
            }
        }
        state=st;
        dij(st);
    }
    printf("%d\n",f[ansx][ansy][(1<<cnt)-1]);
    memset(vis,0,sizeof vis);
    dfs(ansx,ansy,(1<<cnt)-1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(!a[i][j])putchar('x');
            else putchar(vis[i][j]?'o':'_');
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}
/***********************

***********************/