三角插值的 Fourier 系数推导

给定 $k$ 个互不相同的复数 $x_0,\cdots,x_{k-1}$,以及 $k$ 个复数$y_0,\cdots,y_{k-1}$.我们知道存在唯一的复系数 $k-1$ 次多项式
$$
\mathcal{P}_{k-1}(x)=\xi_0+\xi_1x+\cdots+\xi_{k-1}x^{k-1}
$$
使得
$$
\mathcal{P}_{k-1}(x_0)=y_0,\cdots,\mathcal{P}_{k-1}(x_{k-1})=y_{k-1}.
$$
其中 $\xi_0,\cdots,\xi_{k-1}\in\mathbf{C}$.这个结论是范德蒙行列式不为0的一个简单推论.特别的,我们令 $x_i=\omega^i$,其中 $\omega=e^{\frac{2\pi i}{k}}$,我们就得到了三角插值多项式.为了确定三角插值多项式的系数,我们使用 Cramer 法则.我们知道
$$
\begin{cases}
\xi_0+\xi_1\omega^0+\cdots+\xi_{k-1}\omega^0=y_0\\
  \xi_0+\xi_1\omega^1+\cdots+\xi_{k-1}\omega^{k-1}=y_1\\
\xi_0+\xi_1\omega^2+\cdots+\xi_{k-1}\omega^{2(k-1)}=y_2\\
\vdots\\
\xi_0+\xi_1\omega^{k-1}+\cdots+\xi_{k-1}\omega^{(k-1)(k-1)}=y_{k-1}.
\end{cases}
$$
因此
$$
\xi_i=\frac{\begin{vmatrix}
    \omega^{0}&\omega^0&\cdots&y_{0}&\cdots&\omega^{0}\\
    \omega^0&\omega^1&\cdots&y_{1}&\cdots&\omega^{k-1}\\
    \vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots\\
\omega^0&\omega^{k-1}&\cdots&y_{k-1}&\cdots&\omega^{(k-1)(k-1)}\\
  \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
    \omega^{0}&\omega^0&\cdots&\omega^{0}\\
\omega^0&\omega^1&\cdots&\omega^{k-1}\\
\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\
\omega^0&\omega^{k-1}&\cdots&\omega^{(k-1)(k-1)}\\
  \end{vmatrix}}.
$$
设
$$
\begin{pmatrix}
  y_0\\
y_1\\
\vdots\\
y_{k-1}\\
\end{pmatrix}=\alpha_0 \begin{pmatrix}
  \omega^{0}\\
\omega^{0}\\
\vdots\\
\omega^0\\
\end{pmatrix}+\cdots+\alpha_i \begin{pmatrix}
  \omega^{0}\\
\omega^{i}\\
\vdots\\
\omega^{i(k-1)}\\  
\end{pmatrix}+\cdots+\alpha_{k-1}\begin{pmatrix}
  \omega^{0}\\
\omega^{k-1}\\
\vdots\\
\omega^{(k-1)(k-1)}
\end{pmatrix},
$$
则 $\xi_i=\alpha_i$.于是我们只用求 $\alpha_i$ 即可.易得
$$
\alpha_i=\frac{1}{k}\begin{pmatrix}
  y_0\\
y_1\\
\vdots\\
y_{k-1}\\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
  \omega^0\\
\omega^{-i}\\
\vdots\\
\omega^{-i(k-1)}\\
\end{pmatrix}.
$$